Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Января 2013 в 06:51, контрольная работа
Найти произведение заданных матриц А и В.
Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.
Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R3, и найти координаты вектора а в этом базисе.
Определить ранг заданной матрицы.
Привести систему к системе с базисом методом Жордана Гаусса и найти одно базисное решение.
Задание №1………………………………………………………………. 3
Задание №2……………………………………………………………… 4
Задание №3……………………………………………………………… 10
Задание №4………………………………………………………………. 11
Задание №5………………………………………………………………. 12
Задание №6………………………………………………………………. 15
Задание №7………………………………………………………………. 18
Задание №8……………………………………………………………… 20
Задание №9……………………………………………………………… 37
Задание №10……………………………………………………………. 39
CH || |
AB (см. рис.7) | |||
S |
N |
T.е. в качестве направляющего вектора прямой CH можно принять нормальный вектор прямой AB. |
Вектор |
AB (1, -1), мы нашли в пункте 1.1. | |
N |
Подставим координаты вектора |
AB = (1, -1) в уравнение (4). | |
N |
x - x c |
= |
y - y c |
|
|
1 |
-1 |
Подставим координаты точки C (6, 2). |
x - 6 |
= |
y - 2 |
|
1 |
-1 |
x - 6 |
= |
y - 2 |
|
1 |
-1 |
-1 ( x - 6 ) = 1 ( y - 2 ) |
- x + 6 = y - 2 |
- x - y + 8 = 0 - уравнение высоты CH. |
· Как найти координаты точки H ? |
Точка H принадлежит прямой AB, следовательно, координаты точки H (x h, y h) должны удовлетворять уравнению прямой AB. |
Точка H принадлежит прямой CH, следовательно, координаты точки H (x h, y h) должны удовлетворять уравнению прямой CH. |
Составим систему из данных уравнений и решим ее. |
Получим координаты точки H (x h, y h).
3.2. Найдем уравнение высоты BK проведенной из вершины B на сторону АC и координаты точки K. (рис.8)
|
3.3. Найдем уравнение высоты AM проведенной из вершины A на сторону CB и координаты точки М. (рис.9)
рис.9
Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и M (x m, y m) в общем виде: |
x - x a |
= |
y - y a |
(6) |
x m - x a |
y m - y a |
|
Мы не знаем координаты точки M, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой AM |
Mы знаем, что прямая AM перпендикулярна прямой CB, следовательно, направляющий вектор прямой AM параллелен нормальному вектору прямой CB. |
AM || |
CB (см. рис.9) | |||
S |
N |
T.е. в качестве направляющего вектора прямой AM можно принять нормальный вектор прямой CB. |
Вектор |
CB (3, 2), мы нашли в пункте 1.3. | |
N |
|
Подставим координаты вектора |
CB = (3, 2) в уравнение (6). | |
N |
x - x a |
= |
y - y a |
|
|
3 |
2 |
Подставим координаты точки A (-3, 3). |
x - (-3) |
= |
y - 3 |
|
3 |
2 |
x + 3 |
= |
y - 3 |
|
3 |
2 |
2 ( x + 3 ) = 3 ( y - 3 ) |
2 x + 6 = 3 y - 9 |
2 x - 3 y + 15 = 0 - уравнение высоты AM. |
Точка M принадлежит прямой BC, следовательно, координаты точки M (x m, y m) должны удовлетворять уравнению прямой BC. |
Точка M принадлежит прямой AM, следовательно, координаты точки M (x m, y m) должны удовлетворять уравнению прямой AM. |
Составим систему из данных уравнений и решим ее. |
Получим координаты точки М (x m, y m). |
|
3 x m + 2 y m - 22 = 0 |
2 x m - 3 y m + 15 = 0 |
|
x m = 36/13 |
y m = 89/13 |
Координаты точки M (36/13, 89/13). |
Задание 9. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить линию.
-25х2 + 4у2 + 100х + 8у – 196 = 0
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = - 25x2 + 4y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:
В = -25 0
4 0
Находим собственные числа
и собственные векторы этой матрицы:
(-25 - λ)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (4 - λ)y1 = 0
Характеристическое уравнение:
|
= λ2 + 21λ - 100 = 0 |
λ2+21λ-100=0
D=212-4•1•(-100)=841
Вид квадратичной формы:
-25x21 + 4y21.
Исходное уравнение определяет гиперболу
(λ1 < 0; λ2 > 0)
Выделяем полные квадраты:
для x1:
-25(x12-2•2x1
+ 22) +25•22 = -25(x1-2)2+100
для y1:
4(y12+2•1y1 + 1) -4•1 = 4(y1+1)2-4
или
-25(x1-2)2+4(y1+1)2 = 100
или
Данное уравнение определяет гиперболу
с центром в точке:
C(2; -1)
и полуосями:
a = 2 (мнимая полуось); b = 5 (действительная
полуость)
Преобразование параллельного переноса
системы координат в новое начало O1
производится по формулам:
x2 = x1-2
y2 = y1+1
Оси данной гиперболы будут лежать на
прямых:
x = 2; y = -1
Определим параметр c: c2 = a2
+ b2 = 4 + 25 = 29
Тогда эксцентриситет будет
равен:
Асимптотами гиперболы будут прямые:
y1 + y0 = b/a•(x1 + x0)
и
Директрисами гиперболы будут прямые:
(x1 + x0) = a/c
Исходное уравнение определяет гиперболу (λ1 < 0; λ2 > 0)
Задание 10. Построить график заданной кривой.
у = -2х2 + 12х – 9
Решение:
Приводим квадратичную форму
B = - 2x2
к главным осям, то есть к каноническому
виду. Матрица этой квадратичной формы:
B = |
|
Находим собственные числа и
(-2 - λ)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (0 - λ)y1 = 0
Характеристическое уравнение:
|
= λ2 + 2λ = 0 |
λ2 +2 λ + 0 = 0
D = 22 - 4 • 1 • 0 = 4
Вид квадратичной формы:
-2 - λ;0;0;0 - λ + 0y21.
Исходное уравнение определяет параболу
(λ2 = 0)
-2(x12-2•3x1 + 32) +2•32
= -2(x1-3)2+18
y = 2(x-3)2-27
Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0).
Информация о работе Контрольная работа по "Линейной алгебре"