Контрольная работа по "Математике"

Математика.

Задание № 1

Закон распределения случайных  величин.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Дискретной  называют случайную величину, возможные  значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).

Законом распределения дискретной случайной  величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения x_i, а вторая — вероятности р_i:

где .

Если  множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд p₁ + p₂ +... сходится и его сумма равна единице.

Закон распределения дискретной случайной  величины X может быть также задан  аналитически (в виде формулы)

.

или с помощью функции распределения.

Закон распределения дискретной случайной  величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе  координат строят точки M₁ (x₁; p₁), M₂ (x₂; p₂),..., M_n (x_n; p_n), (x_i,—возможные значения X, p_i—соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Биномиальным  называют закон распределения дискретной случайной величины X—числа появлений события в я независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения X = k (числа k появлений

события) вычисляют по формуле Бернулли:

.

Если  число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу

,

где k—число появлений события в я независимых испытаниях, λ = np (среднее число появлений события в и испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

 

Задание № 2

Перевод целых и действительных чисел в позиционной системе счисления (СС).

Представьте каждое указанное число в четырех системах счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной.

 

1. 125₁₀

Переведем, сначала, число в двоичную систему.

    

    

      

    

    

    

    

    

      

В результате делений получили: 125₁₀=1111101₂.

Теперь  переведем число в восьмеричную систему счисления.

Данное  двоичное число разобьем справа налево на группы по 3 цифры в каждой соответственно. Т.к. в последней левой группе  цифр меньше положенного, то эту группу дополним незначащими нулями перед числом до нужного количества разрядов. 

    1111101₂ = 001 111 101

Переведем данное число в восьмеричную систему  пользуясь таблицей:

Получаем: 1111101₂ = 175₈.

Теперь  переведем число в 16-ричную систему  координат.

Данное  двоичное число разобьем справа налево на группы по 4 цифры в каждой соответственно. Т.к. в последней левой группе  цифр меньше положенного, то эту группу дополним незначащими нулями перед числом до нужного количества разрядов. 

    1111101₂ = 0111 1101

Переведем данное число в 16-ричную систему пользуясь таблицей:

 

Получаем: 1111101₂ = 7D₁₆.

В итоге имеем: 125₁₀=1111101₂ = 175₈ = 7D₁₆. 

2) 577₈

Переведем, сначала, число в двоичную систему счисления, пользуясь таблицей.

577₈ = 101111111₂.

Переведем число в десятеричную систему  счисления:

101111111₂ = 1*2⁸+0*2⁷+1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰ = 256+64+32+16+8+4+2+1 = 383₁₀.

Переведем число в 16-ричную систему счисления:

101111111₂ = 0001 0111 1111 = 17F₁₆.

В итоге имеем: 577₈ = 101111111₂ = 383₈ = 17D₁₆. 

3) 1010001001₂

Переведем число в десятеричную систему  счисления:

1010001001₂ = 1*2⁹+0*2⁸+1*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰ = 512+128+8+1 = 649₁₀.

Теперь  переведем число в восьмеричную систему счисления.

1010001001₂ = 001 010 001 001 = 1211₈.

Переведем число в 16-ричную систему счисления:

1010001001₂ = 0010 1000 1001 = 289₁₆.

В итоге имеем: 1010001001₂ = 649₁₀ = 1211₈ = 289₁₆. 

4) FE5₁₆

Переведем, сначала, число в двоичную систему  счисления, пользуясь таблицей.

FE5₁₆ = 111111100101₂.

Переведем число в десятеричную систему  счисления:

111111100101₂ = 1*2¹¹+1*2¹⁰+1*2⁹+1*2⁸+1*2⁷+1*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ = 2048+1024+512+256+128+64+32+4+1 = 4069₁₀.

Теперь  переведем число в восьмеричную систему счисления.

111111100101₂ = 111 111 100 101 = 7745₈.

В итоге имеем: FE5₁₆ = 111111100101₂ = 4069₁₀ = 7745₈. 

5) 12,5₁₀

Переведем, сначала, целую часть числа в двоичную систему. 

    

    

      

      
 

В результате делений получили: 12₁₀=1100₂.  
 
 

Теперь  переведем дробную часть.

 

В результате получили: 12,5₁₀≈1100,00001100₂.

Теперь  переведем число в восьмеричную систему счисления.

1100,00001100₂ = 001 100, 000 011 000 = 14,030₈.

Переведем число в 16-ричную систему счисления:

1100,00001100₂ = 1100, 0000 1100 = C,0C₁₆.

В итоге имеем: 12,5₁₀ = 1100,00001100₂ = 14,030₈ = C,0C₁₆. 

6) 5,77₈

Переведем, сначала, число в двоичную систему пользуясь таблицей.

5,77₈ = 101,111111₂.

Переведем число в десятеричную систему  счисления:

101,111111₂ = 1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2+1*2^-3+1*2^-4+1*2^-5+1*2^-6 =

= 4+1+0,5+0,25+0,125+0,0625+0,03125+0,015625 =5,984375₁₀.

Переведем число в 16-ричную систему счисления:

101,111111₂ = 0101, 1111 1100 = 5,FC₁₆.

В итоге имеем: 5,77₈ = 101,111111₂ = 5,984375₁₀ = 5,FC₁₆.