Длину дуги ÈM₀M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M₀, обозначим через s; тогда Ds = ÈM₀M₁ -  ÈM₀M, а½Ds½ = ÈMM_1.   Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге  ÈMM₁  равен абсолютной величине  разности углов j   и j+Dj, то есть равен ½Dj½.

Согласно  определению средней кривизны кривой на участке  ÈMM₁  имеем

.

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги ÈMM₁ стремится к нулю:

Так как величины j и s зависят от x, то, следовательно, j можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

           

Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически:    . 

Чтобы выразить производную  через функцию y=f(x),  заметим,  что   и, следовательно . 

Дифференцируя по x последнее равенство,  получаем        .

И так  как             , то 

,  и окончательно, так как  , получаем

.

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно  вычислить кривизну по формулам. 
 
 
 

б.Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

 

Пусть кривая задана параметрически: x=j(t),  y=y(t).  Тогда 

    

Подставляя  полученные выражения в формулу 3, получаем

. 
 
 
 

в.Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

 

Пусть кривая задана уравнением вида r = f(q). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = r cos q, y = r sin q . 

Если  в эти формулы подставить вместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим

x = f(q) cos q, y = f(q) sin q

Последние уравнения можно рассматривать  как параметрические уравнения  кривой, причём параметром является q.

Тогда

,         

,           

Подставляя  последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  5.Радиус и круг кривизны

 

Определение 7.   Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке:  R = 1/K,   или 

Построим в  точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.

Точка С называется центром кривизны данной кривой с  центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

 Пусть кривая  задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты  a  и b   центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

Так как точка  C(a, b) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению    .

Далее, точка  C(a, b)  находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:

Решив совместно  уравнения * определим a, b:

                         

                                           

и так как   ,   то

                                                

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y^!!>0  и y^!!<0. Если y^!!>0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, b>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ½y^!!½= y^!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:

                                                 (1)

Аналогично можно  показать, что формулы будут справедливы  и в случае y^!!<0.

Параметрическое задание кривой

 

Если кривая задана параметрически:  x = j(t),  y = y(t),  то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя  в них вместо y^! и y^!! их выражения через параметр:

                                 .

Тогда

                                                  (2) 

а.Эволюта и эвольвента

 

Если в точке  M₁(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C₁(a, b) . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.

По отношению  к своей эволюте данная линия  называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение. 

Определение 8.  Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L₁ , а сама линия L относительно своей эволюты называется эвольвентой. 

Если данная кривая определяется уравнением   y=f(x) , то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этих уравнений параметр  x, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты a   и b. Если же кривая задана параметрически x = j(t),  y = y(t), то уравнеия (2) дают параметрические уравнеия эволюты. 

б.Свойства эволюты

 

Теорема 1.  Нормаль к данной кривой является касательной к её эволюте. 

Доказательство.  Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (1) , равен    .     В силу уравнений (1)     

, (3)

  (4) 

Получаем  соотношение

. 

Но  y^! есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой  и касательная к её эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте. 

Теорема 2. Если на некотором участке M₁M₂ кривой радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.

Доказательство.

Так как   ,  где ds  - дифференциал длины дуги эволюты;  отсюда

Подставляя  сюда выражения  (3) и (4) получим

.  (4)

Так как          ,      то      .

Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля  обе части равенства на   ,   получим

. 

Возведём  в квадрат полученное равенство: 

   (5), и сравнивая равенства  (4), (5)  находим 

 

,    откуда       

По условию  не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Пусть для определённости , а . (рис. 10) Следовательно,

Пусть точка M₁ имеет абсциссу x₁, а M₂ – абсциссу x₂.

Применим  теорему Коши к функциям  s(x) и R(x) на отрезке       [x_1,  x₂]:

Где x - число, заключённое между x₁ и x₂ .