Введём обозначения (рис. ):     S(x₂) = s₂,  s(x₁)= s₁,  R(x₂)=R₂,  R(x₁)=R₁ 

Тогда   .  Но это значит, что . Теорема доказана.

Доказательство  при возрастании радиуса кривизны аналогично.

Если  кривая задана параметрически, то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.

Укажем  без доказательства приёмы приближённых построений эволюты по эвольвенте  и эвольвенты по эволюте.

1). Каждая  нормаль к эвольвенте является  касательной к эволюте; эволюта  как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая их линия и будет эволютой L^! (рис.11 ).  

2). Если  гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую  заданную выпуклую линию L^! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L^!; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L^!. Отсюда следует, что данная эволюта L^!  имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту. 
 

следует, что данная эволюта L^!  имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

6.Заключение 

В качестве заключения рассмотрим применение эвольвенты в технике.

В технике  эвольвенту окружности применяют для  профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O₁ и O₂ (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку К. Тогда в точке  К нормали КМ₁ и КМ₂  к эвольвентам Э₁ и Э₂ будут лежать на отрезке М₁М₂ общей касательной к окружностям радиусов R₁ и R₂ соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка К  перемещается вдоль отрезка М₁М₂ (новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М₁М₂.

Если  угловая скорость w₂ ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость w₂R₂ движения точки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость w₁ =w₂R₂/R₁ ведомого колеса. Таким образом, эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения w₁/w₂ = R₂/R₁ зубчатой передачи. Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O₁O₂, вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могут войти в зацепление.

Эвольвентное  зацепление предложено математиком  Л. Эилером.

7.Примеры

1.  Найдём кривизну параболы   y = x²   в любой её точке.

Имеем:  и .  Поэтому   ;   в частности кривизна параболы в её вершине равна 2. 

2.  Найдём кривизну прямой  y = ax + b  в её произвольной точке.

По формуле  вычисления кривизны получаем  результат  К=0, означающий, что прямая представляет собой «линию нулевой кривизны». 

3.  Найдём уравнения эволюты параболы    y = x² . 

Найдём значения X и Y:    ,      

Исключив параметр x, найдём уравнение эволюты в явном виде:

4.  Определим кривизну циклоиды в её произвольной точке.

Подставив полученные выражения в формулу  , получим:

. 

5.  Найдём уравнение эволюты эллипса, заданного параметрическими уравнениями

Вычислим производные  от x и y по t:

                    Подставим данные значения в формулы       и    :

Аналогично получаем значение b:    .

Исключая параметр  t,  получаем уравнение эволюты эллипса с текущими координатами a и b в виде     .

8.Список использованной литературы

1. Н. С. Пискунов,  Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, «Наука», 1985.
2. А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович, Краткий курс математического анализа, «Наука», 1966.
3. Е. Е. Иванова, Дифференциальное исчисление функций одного переменного, Издательство МГТУ им. Баумана, 1999.
4. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк, Основы математического анализа, ч. 1, «Наука», 1982.
5. Б. П. Демидович, Задачи и упражнения по математическому анализу, «Интеграл – пресс», 1997.