Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — уравнение вида a+bx+c = 0, где

Геометрический  смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения  называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая  квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет  корней. Если парабола пересекается с  осью абсцисс в одной точке (в  вершине параболы), уравнение имеет  один корень (также говорят, что уравнение  имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два корня. (См. изображение справа.)

Если коэффициент а положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Получение формулы  для решения

Формулу можно получить следующим образом:

+ bx + c = 0

a + bx = − c

Умножаем каждую часть на 4a и прибавляем :

4 + 4abx + = − 4ac +

(2ax + b = − 4ac +  

Уравнение с  вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a, b, c   может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами  может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = − 4ac:

     -при  D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

  (1)

     -при  D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

      -при  D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

Другие записи решений 

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида  + 2kx + c = 0.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение  вида + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

Если уравнение  записать в виде +2px+q = 0, то формула будет ещё проще:

Мнемонические правила

Из «Радионяни»:

«Минус» напишем  сначала,

 Рядом с ним  p пополам,

 «Плюс-минус»  знак радикала,

 С детства знакомого  нам. 

Ну, а под корнем, приятель,

 сводится всё  к пустяку:

p пополам и в квадрате

 Минус прекрасное q.

Из «Радионяни» (другой вариант):

p, со знаком взяв обратным,

 на два мы  его разделим,

 и от корня  аккуратно

 знаком «минус-плюс»  отделим. 

А под корнем очень  кстати

 половина p в квадрате

 минус q — и вот решенья,

 то есть корни уравненья. 

Уравнение с комплексными коэффициентами 

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той  же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения +px+q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: 

В общем случае (для  неприведённого квадратного уравнения a ++ bx + c = 0):

Мнемоническое правило

Познакомили поэта

 С теоремою  Виета

 Оба корня он  сложил

 минус p он получил

 а корней произведенье

 дает q из уравнения.

Разложение  квадратного уравнения  на множители 

Если известны оба  корня квадратного уравнения, его  можно разложить по формуле

В случае нулевого дискриминанта  это соотношение становится одним  из вариантов формулы квадрата суммы  или разности. 
 

Алгебраические 

Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному. В общем случае оно решается заменой последующим решением квадратного уравнения

Также при решении  можно обойтись без замены, решив  совокупность двух уравнений и

Если f(x) = , то уравнение принимает вид:

a + b + c = 0

Такое уравнение называется биквадратным.