Лекция по "Высшей математике"

Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

1. х + у = у + х (перестановочность сложения);
2. (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
3. имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;
4. для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,
5. 1 · х = х,
6. a(bx) = (ab) х (ассоциативность умножения);
7. (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);
8. a(х + у) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

  Векторным  (или линейным) пространством называется  множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение a₁e₁ + a₂e₂ + … + a_ne_n   (1)  называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂,..., e_n с коэффициентами a₁, a₂,..., a_n. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a₁, a₂,..., a_n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂,..., e_n называется линейно независимыми.    Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).     В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁, e₂,..., e_n, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁, e₂,..., e_n — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:     x = a₁e₁ + a₂e₂ +... + a_ne_n.       При этом числа a₁, a_2,..., a_n называются координатами вектора х в данном базисе.           Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l ₁, l ₂,..., l _n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:        (l₁, l₂, …, l_n) + (m₁, m₂, …, m_n) = (l₁ + m₁, l₂ + m₂, …, l_n + m_n);   a(l₁, l₂, …, l_n) = (al₁, al₂, …, al_n).     Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e₁ = (1, 0,..., 0), e₂ = (0, 1,..., 0),..., e_n = (0, 0,..., 1).     Множество R всех многочленов a₀ + a₁u + … + a_nuⁿ (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами a₀, a₁,..., a_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u²,..., uⁿ (при любом n) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.     Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u²,..., uⁿ.    Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) , где R обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1. (аксиома тождества).
2. (аксиома симметрии).
3. (аксиома треугольника или неравенство треугольника). Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x.      Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.     Норма — структура длины векторов на линейном пространстве. Норма в векторном линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел есть функция , удовлетворяющая следующим условиям (аксиомы нормы):
1. , причём p(x) = 0 только при ;
2. для всех (неравенство треугольника);
3. для любого скаляра α. Норма обычно обозначается . Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.    Аксиома 2 обеспечивает выпуклость шаров , аксиома 3 — кроме прочего, их центральную симметрию.    Любой ненулевой вектор (в частности функцию) конечной нормы можно нормировать, поделив его на значение его нормы (после чего он станет нормированным). Также, нередко применяется выражение «нормированный на», подразумевающее, что норма объекта равна в этом случае не единице, а другой определенной величине. Например, иногда говорят о нормировании на дельта-функцию, когда речь идет о нормировании базиса функций, нумерованного непрерывным параметром.

Банаховым пространством называется нормированное линейное пространство полное по метрике, порождённой нормой

Свойства

• Характеристическим  свойством, выделяющим гильбертовы  пространства H среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:

• Если удовлетворяющее  тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное  произведение задаётся равенством

• Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное  произведение задаётся равенством

• Любые два  гильбертовы пространства, имеющие  одинаковую размерность, изоморфны. В частности,
• любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству (см. ниже).
• Теорема Рисса — Фишера: Для любого непрерывного линейного функционала f на Гильбертовом пространстве H существует единственный вектор такой, что f(x) = (x,y) для любого . При этом норма линейного функционала f совпадает с нормой вектора y:

. Теорема также означает, что  пространство всех линейных ограниченных  функционалов над H изоморофно пространству H.

• Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства.

Цилиндри́ческие фу́нкции — общее название для специальных функций одного переменного, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в цилиндрической системе координат. Обычно переменной является расстояние до оси с.к. Произведение цилиндрических функций с гармоническими функциями по другим направлениям даёт цилиндрические гармоники. Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где α — произвольное действительное число, называемое порядком.   Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.    Хотя α, и − α порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по α).    Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.     Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми J_α(x), являются решения, конечные в точке x = 0 при целых или неотрицательных α. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых α):

Здесь Γ(z) — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.    Функции Бесселя второго рода — решения Y_α(x) уравнения Бесселя, бесконечные в точке x = 0.     Y_α(x) также иногда называют функцией Неймана (Ньюмана) и обозначают как N_α(x). Эта функция связана с J_α(x) следующим соотношением:

где в случае целого α берётся предел по α, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.    Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя - это функции Бесселя от мнимого аргумента.  Если в дифференциальном уравненни Бесселя

            заменить на , оно примет вид

 Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя

Если  не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения(1), однако чаще используют функции

и

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода . Если — вещественное число, а — положительно эти функции принимают вещественные значения.    называется порядком функции.