Логическая составляющая начального курса математики по различным образовательным системам

Как показала школьная практика, обучение младших школьников решению  нестандартных арифметических задач  можно разделить на два этапа. На первом этапе проводится специальная работа по выводу и осмыслению общих подходов к решению таких задач. При этом важно, чтобы ученики уже усвоили процесс решения любой арифметической задачи (читаю задачу; выделяю, что известно и что надо узнать, и т.д.); познакомились с приемами работы на каждом этапе решения задачи (виды наглядной интерпретации, поиска решения, проверки решения задачи и др.). На втором этапе учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска решения конкретных задач.

Опишем, как можно провести работу на первом этапе. В описании методики работы будем выделять серии задач. Задачи одной серии будут подчинены определенной цели. Первая задача серии решается под руководством учителя (чаще всего она более сложная, чем другие задачи серии), она служит для выведения приема или способа, который помогает решить задачу. На следующих задачах дети упражняются в применении приема, который они сформулировали, и выделяют некоторые ориентиры, помогающие определить, в каких случаях удобно использовать данный способ или прием.

Задачи серий I-III позволяют сформулировать первую рекомендацию для учащихся при решении нестандартных задач: для того чтобы решить задачу, бывает полезно построить к ней рисунок или чертеж. Следует начинать с этой рекомендации, так как ученики уже делали такой вывод при решении стандартных задач. Но в данном случае должны быть выделены некоторые особенности использования графических изображений. Во-первых, ответ, а в некоторых случаях часть неизвестных могут быть получены только из чертежа без выполнения арифметических действий. Во-вторых, иногда нужно будет делать дополнительные построения, т.е. в процессе решения задачи будут выполнены новые чертежи с учетом найденных чисел. Чертеж будет использоваться также и при применении других приемов нестандартных задач.

Серия I

Задача 1. Бревно длиной 12 м распилили на 6 равных частей. Сколько распилов сделали?

После чтения задачи ученикам предлагается ответить на вопрос, решали ли они задачи такого вида и известен ли им способ решения таких задач.

Возможно, некоторые ученики  ошибочно будут считать, что знают, как решить задачу: «Надо 12 м разделить  на 6 равных частей». Учитель должен дать учащимся возможность найти  результат, оценить его и убедиться  в ошибке. (Разделив 12 на 6, мы узнали, что длина одной части равна 2 м. Но в задаче спрашивается не какова длина одной части, а сколько  сделали распилов. Следовательно, задача решена неправильно.) Затем ученики  могут вновь прийти к ошибочному заключению: «Сколько частей, столько  и распилов». Учитель предлагает проверить найденный ответ, сделав условный рисунок или чертеж. Ученики  обозначают бревно прямоугольником  или отрезком длиной 12 клеточек, делят  его вертикальными засечками  на 6 равных частей. Подсчитав число  полученных засечек (распилов), они  убеждаются, что их 5, а не 6, как  они считали раньше. Эту задачу решили, не выполняя арифметических действий. Ответ получили, построив чертеж (рисунок). Под ним ученики записывают ответ  задачи. Таким образом, учащиеся приходят к следующему выводу: при поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж (рисунок), так как работа с чертежом (рисунком) может являться способом решения задачи.

Решение нижеследующих задач  будет способствовать подтверждению  вывода, сделанного при поиске решения  первой задачи. Учитель ставит перед  учащимися следующую учебную  задачу: научиться решать арифметические задачи с помощью построения графических  изображений.

Задача 2. Лестница состоит из 9 ступенек. На какую ступеньку надо встать, чтобы оказаться на середине лестницы? (На пятую ступеньку.)

Задача 3. Маша и Петя встретились в вагоне электропоезда. Маша всегда садится в пятый вагон от начала поезда, а Петя - в пятый вагон от конца поезда. Сколько вагонов в поезде? (9 вагонов.)

Задача 4. Вдоль одной стороны  огорода надо поставить изгородь. Длина огорода 10 м. Сколько потребуется  столбов, чтобы поставить их по длине  огорода на расстоянии 2 м друг от друга? (6 столбов.)

Задача 5. 3 одинаковые ватрушки надо разделить поровну между 4 детьми. Как это сделать, выполнив наименьшее число разрезов? (2 ватрушки разрезать пополам, а третью - на 4 равные части.)

Серия II

Решая следующие задачи, можно подвести учащихся к мысли  о том, что в некоторых случаях  часть данных целесообразно найти  с помощью графических изображений (рисунков, чертежей), а часть - с помощью  арифметических действий.

Задача 1. Ширина занавески для окна равна 1 м 20 см. Надо пришить 6 колец на одинаковом расстоянии друг от друга (первое и последнее кольца должны располагаться по краям занавески). Сколько сантиметров надо оставлять между кольцами?

Следуя ранее выведенной рекомендации, ученики начинают делать схематический чертеж к данной задаче. Они показывают засечкой первое кольцо, откладывают отрезок любой выбранной  длины, ставят вторую засечку, откладывают  отрезок такой же длины, как первый, ставят третью засечку и так действуют  до тех пор, пока не поставят 6 засечек. По полученному схематическому чертежу  подсчитывают число равных частей, на которые 6 колец разделят занавеску.

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, остается разделить  всю ширину занавески на 5 равных частей: 120 : 5 = 24 (см).

Такая же идея используется учениками при самостоятельном  решении следующих задач этой серии.

Задача 2. Вдоль беговой дорожки через одинаковое расстояние вкопаны столбы. Старт дан у 1-го столба. Через 12 минут бегун был у 4-го столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у 7-го столба, если он бежит с одинаковой скоростью? (Через 24 минуты.)

Задача 3. Имеются бревна длиной 4 м и 5 м одинаковой толщины. Бревно перепиливается за 1 минуту. Надо напилить 60 бревен длиной 1 м. Можно пилить только 4-метровые или только 5-метровые бревна. Какие бревна надо пилить, чтобы работу закончить раньше? Сколько времени тогда можно сэкономить? (Надо пилить 4-метровые бревна, можно сэкономить 3 минуты.)

Серия III

Следует также показать учащимся, что иногда в процессе решения  задачи нужно делать дополнительные построения или перестраивать чертежи  с учетом найденных чисел. Это  можно сделать при решении  следующей задачи.

Задача 1. Муравей находится на дне колодца глубиной 30 м. За день он поднимается на 18 м, а за ночь сползает вниз на 12 м. Сколько дней нужно муравью, чтобы выбраться из колодца?

Самостоятельно решая  эту задачу, учащиеся могут сделать  чертеж (рис.1) и неверно решить задачу:

) 18 - 12 = 6 (м) - поднимается  муравей за сутки.

) 30 : 6 = 5 (сут.) - потребуется  муравью, чтобы выбраться из  колодца.

 

Рис. 1

 

Учитель предлагает: а) проверить  решение, показав на отдельных чертежах положение муравья в каждый день; б) в ходе решения подсчитывать, сколько  метров остается муравью, чтобы выбраться  из колодца.

 

Рис. 2

 

Таким образом, ученики видят, что в третий день муравей поднимется на 18 м и выберется из колодца. Значит, сначала они решили задачу неправильно. А найти верный ответ  им помогло последовательное построение нескольких чертежей, отражающих те изменения, которые происходили в реальной ситуации, описываемой в задаче.

В следующих задачах закрепляется выведенный прием решения.

Задача 2. Дети едут на экскурсию в трех автобусах. Во второй автобус село на 5 человек больше, чем в первый, а в третий - на 7 человек меньше, чем во второй. Сколько детей из второго автобуса должно пересесть, чтобы в каждом автобусе детей стало поровну? (В первый автобус - 1 человек, в третий - 3 человека.)

Задача 3. 10 слив имеют такую же массу, как 3 яблока и 1 груша, а 2 сливы и 1 яблоко - как 1 груша. Сколько слив нужно взять, чтобы их масса была равна массе 1 груши? (4 сливы.)

Серия IV

Задачи серии IV позволяют  вывести следующую рекомендацию для учащихся при решении нестандартных  задач: для того чтобы решить задачу, бывает нужно ввести вспомогательный элемент (часть).

Задача 1. Разложи 45 шариков в 4 коробки так, что если число шариков в третьей коробке увеличить в 2 раза, а в четвертой уменьшить в 2 раза, а в первой и второй оставить без изменения, то в каждой коробке будет одинаковое число шариков.

Сначала учащиеся выполняют  первый схематический чертеж (рис. 3).

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

Анализируя чертеж, ученики  замечают, что на нем есть отрезки  одинаковой длины, но не все. Учитель  предлагает дорисовать чертеж, чтобы  все отрезки состояли из одинаковых частей (рис. 4). Затем сообщает, что  в таких случаях можно ввести вспомогательный элемент - часть. Примем число шариков в третьей коробке  за 1 часть, тогда число шариков  в четвертой коробке составит 4 части, в первой - 2 части, во второй - 2 части. Затем выполняется арифметическое решение:

1)2 + 2+1+4 = 9 (ч.) - составляют 45 шариков.

2) 45 : 9 =. 5 (ш.) - содержится в 1 части или число шариков в третьей коробке.

3) 5 • 2 = 20 (ш.) - число шариков в первой или во второй коробке.

4) 5 • 4 = 20 (ш.) - число шариков в четвертой коробке.

В процессе поиска решения  данной задачи использовали несколько  приемов: строили и достраивали  чертеж, вводили вспомогательный  элемент. Его удобно ввести, когда  на чертеже получены отрезки одинаковой длины.

В следующих задачах ученики  будут упражняться в решении  задач с помощью введения вспомогательного элемента.

Задача 2. Веревку разрезали на 2 куска так, что один кусок оказался в 4 раза длиннее другого. Чему равна длина веревки, если один кусок длиннее другого на 18 см? (30 см)

Задача 3. Одного крестьянина спросили, сколько у него денег. Он ответил: «Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех у нас ровно 100 000 рублей. Узнайте, сколько у меня денег». (2 500 рублей.)

Серия V

В задачах серии V выводится  еще одна рекомендация для учащихся при решении нестандартных задач: в поиске ответа на вопрос задачи можно использовать способ подбора.

Задача 1. Сумма четырех различных чисел равна 13. Наименьшее из этих чисел на 5 меньше наибольшего. Найди эти числа.

Сначала ученики выполняют  чертеж (рис. 5).

 

 

Рис.5

Затем учащиеся пытаются преобразовать  чертеж, чтобы получить одинаковые числа, как они делали в предыдущих задачах. Ученики приходят к выводу, что этого сделать нельзя, так  как в условии ничего не говорится  о числовых отношениях между вторым и третьим числом. Встает проблема: можно ли решить эту задачу? Может  быть, в ней не хватает данных? Учитель предлагает использовать для  решения этой задачи способ подбора.

Рассуждения удобнее начать с наименьшего из чисел.

Пробуем число 0. Тогда получаем: 0+ □ + □ + 5 = 13. Подберем пропущенные числа. Их сумма равна 13 - 5 - 0 = 8. Эти числа должны быть разными и быть больше 0, но меньше 5. Между 0 и 5 идут числа 1, 2, 3, 4. Среди них нельзя выбрать два разных числа, дающих в сумме 8. Значит, число 0 не подходит.

Пробуем число 1. Тогда получаем: l + □+ □+ 6 = 13. Подбираем пропущенные числа. Их сумма равна: 13-1-6 = 6. Между числами 1 и 6 стоят числа 2, 3, 4, 5. Среди них выбираем два, дающих в сумме 6. Это числа 2 и 4. Проверяем, правильно ли мы нашли четыре числа. Для этого складываем их: 1 + 2 + 4 + 6 = 13. Получили сумму, данную в задаче. Другие условия также соблюдены: числа различные, наименьшее из этих чисел 1, оно на 5 меньше наибольшего числа 6.

Получив один ответ, нужно  проверить, нет ли других вариантов  ответа. Для этого пробуем число 2. Тогда получаем: 2 + □ + □ + 7 = 13. Подбираем  пропущенные числа. Их сумма равна 4. Среди чисел 3, 4, 5, 6 нельзя выбрать  два числа, дающих в сумме 4 (сумма  любых двух перечисленных чисел  больше 4). Можно проверить число 3 таким же образом. Числа, начиная  с 4, проверять не нужно, так как  сумма двух чисел получается равной или больше: 13 : 4 + □ + □ + 9 = 13.

Получаем ответ задачи: числа 1, 2, 4, 6.

В итоге важно подчеркнуть, что задачу решили, подбирая нужные числа. Делали это так: последовательно  рассматривали различные возможные  варианты и выбрали те, которые  соответствуют всем условиям задачи. Чертеж помогал выделить эти условия  из текста задачи. В некоторых случаях  перебор удобно начинать не с наименьшего, а с наибольшего возможного числа. Иногда, оценив полученный результат, можно пропустить некоторые числа. Этот способ удобно использовать, когда  число возможных вариантов небольшое.

При решении следующих  задач ученики упражняются в  применении способа подбора.

Задача 2. Сумма трех разных двузначных чисел равна 34. Какие это числа? (10,11,13)

Задача 3. Трое ребят были на рыбалке. Вместе они поймали 14 рыб. Андрей поймал меньше всех рыб. Дима поймал в 3 раза больше рыб, чем Вова. Сколько рыб поймал каждый мальчик? (Вова поймал 3 рыбы, Дима поймал 9 рыб, Андрей поймал 2 рыбы.)

Серия VI

В задачах серии VI выводится  следующая рекомендация при решении  нестандартных задач: полезно переформулировать задачу, т.е. сказать ее другими словами, чтобы она стала знакомой и понятной. При этом в большинстве случаев будет происходить перевод текста задачи на язык математики.

Задача 1. Число яблок в корзине двузначное. Эти яблоки можно раздать поровну 2, 3 или 5 детям, но нельзя раздать поровну 4 детям. Сколько яблок в корзине? (Укажите такое наименьшее двузначное число.)

Сначала ученики пытаются сделать рисунок или чертеж к  задаче, но испытывают затруднения, так  как на чертеже трудно показать, что нельзя раздать яблоки поровну 4 детям, следовательно, непонятно, как  использовать чертеж для решения  задачи. Тогда ученики начинают применять  способ подбора. Учитель предлагает сначала изменить формулировку задачи, чтобы легче было выполнить перебор. Выясняется, что если яблоки можно  раздать поровну 2, 3 и 5 детям, значит, число яблок делится на 2, 3. 5. Если яблоки нельзя раздать 4 детям поровну, значит, число яблок не делится  на 4. Задачу переформулируют следующим  образом: «Найди наименьшее двузначное число, которое делится на 2, 3,5 и  не делится на 4».