В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка.

     В одной из своих последних книг, написанной совместно с Б. Инельдер ([10]), Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 - 14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей обратной (В - А' = А). Сериация - это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

     Анализируя  становление классификации, Ж. Пиаже и Б. Инельдер показывают, как от ее исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к самой сложной форме - к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Авторы специально рассматривают вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и в процессе становления сериации.

     Эти исследования преследовали вполне определенную цель - выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда "операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого" ([10], стр. 15).

     Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Так, алгебраическая структура ("группа") соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости - инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

• координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;
• операция может развиваться в двух направлениях;
• при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;
• к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной.

     Структуре порядка соответствует такая  форма обратимости, как взаимность (перестановка порядка). В период от 7 до 11 лет система отношений, основанная на принципе взаимности, приводит к  образованию в сознании ребенка  структуры порядка.

     Рассмотрим  основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 - 8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.

     Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали  в достаточной мере сложного и  емкого характера тех стадий умственного  развития ребенка, которые связаны  с периодом от 7 до 11 лет.

     Сам Ж. Пиаже эти операторные структуры  прямо соотносит с основными  математическими структурами. Он утверждает, что математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных  структур (и при этом остается в  тени объект этих операций). Это обстоятельство можно выразить и в такой форме: не "знакомство" с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных структур ума, а предварительное образование этих структур (как "координации действий") является началом математического мышления, "выделения" математических структур.

     Рассмотрение  результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего, фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 7 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не "чужды" свойства объектов, описываемые посредством математических понятий "отношение - структура" но последние сами органически входят в мышление ребенка.

     Традиционные  задачи начальной школьной программы  по математике не учитывают этого  обстоятельства. Поэтому они не реализуют  многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. В этой связи практика внедрения  в начальный школьный курс математики логических задач должна стать нормальным явлением.

     Материалы, имеющиеся в современной детской  психологии, позволяют положительно оценивать общую идею внедрения  в учебные программы таких  задач, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 - 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13 - 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

     Представляется, что такие возможности есть. К 7 - 8 годам у детей уже в достаточной  мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей  программе, в которой свойства математических структур даны "явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при "самостоятельном" открытии этих свойств.

     При этом важно учитывать следующее  обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7 - 11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

     Таким образом, в настоящее время имеются  фактические данные, показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и общематематических и  общелогических структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти  не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме "от простых структур - к их сложным сочетаниям". И значительное место в таком построении должно принадлежать широкому применению в процессе обучения младших школьников нестандартных логических задач.

Глава II. Методика использования логических задач на уроках математики в начальной школе

2.1 Интегрированное  обучение и развитие  мышления в простой  игре

     Общее соображение о важности широкого внедрения в школьный урок математики нестандартных логических задач дополним описанием соответствующих методических установок. Ниже рассмотрим методику использования на уроках математики в начальной школе специального типа логических задач, связанных с внедрением в сознание ребенка основных понятий математической логики. Эта методика была разработана ведущим отечественным методистом А.А. Столяром.

     "Главная  задача обучения математике, причем  с самого начала, с первого  класса, - учить рассуждать, учить  мыслить", - писал А.А. Столяр ([9], c. 11). Для достижения наилучших результатов в освоении учащимися основ логического мышления и в изучении геометрических фигур А.А. Столяр использовал в своей практике игру с кругами, рассмотрение которой произведено ниже.

     Игра  с кругами, созданная на основе известных  кругов Эйлера, позволяет обучать  классифицирующей деятельности, закладывает  понимание логических операций: отрицания - не, конъюнкции - и, дизъюнкции - или. Перечисленные  логические операции имеют важнейшее  значение, так как различные их комбинации образуют всевозможные и сколь угодно сложные логические структуры. Из функциональных элементов, реализующих логические операции не, и, или, конструируются схемы современных ЭВМ.

     К концу дошкольного возраста у  ребенка проявляются признаки логического мышления. В своих рассуждениях он начинает использовать логические операции и на их основе строить умозаключения. Очень важно в этот период научить ребенка логически мыслить и обосновывать свои суждения.

     Для игры с кругами нужны нарисованные на бумаге один, два или три пересекающихся круга разного цвета, разноцветные обручи и наборы геометрических фигур разных цветов и размеров, карточки с числами и буквами русского алфавита. В принципе необязательно использовать круги, можно работать с любыми замкнутыми плоскими фигурами. В этом случае замкнутые области выделяются на монтажной панели, к примеру, цветными веревочками. Возможна также работа на компьютере со специальной компьютерной программой. Комплексное обучение, сочетающее игры с обручами со всем классом, игру за столом в группе и индивидуальную работу за компьютером, является наиболее эффективным.

     Приведем  несколько примеров заданий для  игры "Круги". Предлагаемая методика игрового обучения взята из работы ([9]). Она может использоваться начиная с первого класса.

     1. Задачи с одним  кругом

     Цель  работы над задачами с одним кругом - учить классифицировать предметы по одному признаку, понимать и применять  логическую операцию отрицания не.

     Игра  проводится со всем классом или группой. У учеников в руках наборы квадратов, кругов и треугольников разных цветов и размеров. В центре игровой площадки помещен обруч или на доске нарисован круг.

     Учитель:

     - Покажите треугольные  фигуры.

     - Покажите красные  фигуры.

     - Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри круга.

     - Прыгните и приземлитесь (поставьте  мелом точку) вне  круга.

     Ученики выборочно выполняют эти простые  задания. Надо быть готовым к тому, что здесь необязательно сразу  будут правильные результаты. Понятия "внутри" и "вне" у многих детей в этом возрасте еще не полностью сформированы.

     Учитель:

     - Положите внутрь  круга треугольные  фигуры.

     Ученики случайным образом (например, с закрытыми  глазами) выбирают по одной геометрической фигуре из своего набора и по очереди помещают их на заданное место. Все дети наблюдают за действиями одноклассников, а в случае ошибки поднимают руку и говорят: "Стоп". Ошибка обсуждается со всей группой.

     После того как все фигуры размещены, учитель  задает два новых вопроса.

     Учитель:

     - Какие геометрические фигуры лежат внутри круга?

     Ученик:

     - Внутри круга лежат  треугольные фигуры.

     Этот  ответ содержится в самом условии  только что решенной задачи и формулируется  обычно без особого труда. Правильного  ответа на второй вопрос приходится ждать дольше.

     Учитель:

     - Какие геометрические  фигуры лежат вне  круга?