Математическая логика

    Предложения, образованные из других предложений  с помощью логических связок, называют составными или сложными. Предложения, которые не содержат логических связок, называют элементарными или простыми.

    Пример 2: Из предложений «Солнце всходит на востоке» и «Солнце заходит на западе» можно получить следующие составные высказывания: «Солнце всходит на востоке и заходит на западе»; «Солнце всходит на востоке или заходит на западе»; «Если солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе»; «Солнце всходит на востоке тогда и только тогда, когда оно заходит на западе»; «Солнце не всходит на востоке» или «Неверно, что солнце заходит на западе».

    В грамматике различают предложения  простые и сложные. Предложение, простое по своей грамматической структуре, может быть составным  с точки зрения логики. Например, простое с точки зрения грамматики предложение «На улице холодно и сыро» считается в логике сложным, так как образовано с помощью логической связки «и» из двух элементарных предложений «На улице холодно» и «На улице сыро». Простое предложение «Завтра не будет осадков» по своей логической структуре не является элементарным, так как содержит логическую связку «не».

    Возникает вопрос: как определить значение истинности сложного высказывания?

    В математической логике смысл логических связок уточняется так, чтобы вопрос об истинности или ложности составных предложений, образованных из высказываний во всех случаях решался однозначно. Таким уточнением займемся ниже.

    Процесс получения составных  высказываний с помощью  логических связок называется логической операцией.

    По  числу логических связок выделяют пять логических операций.

1. Негация (отрицание) – единственная операция, которая может применяться к одному высказыванию.

    Негацией  высказывания называется новое высказывание, которое истинно  тогда и только тогда, когда само высказывание ложно и ложно, когда само высказывание истинно.

    Негация обозначается , или ¬b, читается: «не А» или «неверно, что А».

    Например, высказывание А = «Луна – спутник Марса» – ложное, а высказывание = «Неверно, что Луна – спутник Марса» – истинное.

    Для произвольного высказывания А определение удобно записывать с помощью так называемой таблицы истинности:

    Пример 3: Сформулировать отрицание высказываний: А = «Курган – большой город»; В = «Сыр делают из молока»; С = «32 не делится на 4».

    Решение. = «Неверно, что Курган – большой город»; = «Сыр делают не из молока»; = «32 делится на 4».

2. Конъюнкция (логическое умножение) – от латинского conjunctio – соединение.

    Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно  тогда и только тогда, когда оба  высказывания истинны.

    Конъюнкция  обозначается или А&B; читается: «А и В».

    Таблица истинности для конъюнкции выглядит следующим образом:

    Пример 4: Определить значение истинности высказываний «Париж расположен на Сене и 2 + 3 = 5»; «1 – простое число и 2 – простое число»; «Число 3 – четное и медведи живут в Африке».

    Решение. Первое высказывание является конъюнкцией двух высказываний А = «Париж расположен на Сене» и В = «2 + 3 = 5». Значение истинности высказывания А = 1 и значение истинности высказывания В = 1. Следовательно, = 1.

    Второе  высказывание является конъюнкцией  высказываний А = «1 – простое число» (А = 0) и В = «2 – простое число» (В = 1). Следовательно, = 0.

    Третье  высказывание является конъюнкцией  двух ложных высказываний, следовательно, =0.

3. Дизъюнкция (логическое сложение) – от латинского disjunction – разделение.

    Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно  тогда и только тогда, когда оба  высказывания ложны.

    Дизъюнкция обозначается и читается «А или В».

    Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом: 

    Пример 5: Определить значение истинности высказываний «Париж расположен на Сене или 2 + 3 = 5»; «1 – простое число или 2 – простое число»; «Число 3 – четное или медведи живут в Африке».

    Решение. Первое высказывание является дизъюнкцией двух высказываний А = «Париж расположен на Сене» и В = «2 + 3 = 5». Значение истинности высказывания А = 1 и значение истинности высказывания В = 1. Следовательно, = 1.

    Второе  высказывание является дизъюнкцией  высказываний А = «1 – простое число» (А = 0) и В = «2 – простое число» (В = 1). Следовательно, = 1.

    Третье  высказывание является дизъюнкцией  двух ложных высказываний, следовательно, =0.

4. Импликация (логическое следствие).

    Импликацией двух высказываний называется новое высказывание, которое ложно  тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе – ложно.

    Импликация  обозначается или , читается «Если А, то В».

    Таблица истинности импликации выглядит так:

    Пример 6: Чтобы запомнить правило нахождения значения истинности импликации, удобно воспользоваться следующими высказываниями: «Дождь идет», «Асфальт мокрый», «Дождь не идет», «Асфальт сухой».

    1) = «Если дождь идет, то асфальт мокрый» = 1;

    2) = «Если дождь идет, то асфальт сухой» = 0;

    3) = «Если дождь не идет, то асфальт мокрый» = 1 (прошла поливальная машина или растаял снег);

    4) = «Если дождь не идет, то асфальт сухой» = 1.

    Принятое  определение импликации соответствует  употреблению союза «если…, то…» не только в математике, но и в обыденной, повседневной речи. Так, например, обращение  приятеля «Если будет хорошая  погода, то я приду к тебе в  гости» вы расцените как ложь в том и только в том случае, если погода будет хорошая, а приятель к вам в гости не придет.

    Вместе  с тем определение импликации вынуждает считать истинными  высказываниями такие предложения, как «Если 2×2 = 4, то Москва – столица  России» или «Если 2×2 = 5, то существуют ведьмы». Эти предложения, вероятно, кажутся бессмысленными. Дело в том, что мы привыкли соединять союзом «если…, то…» (так же, как и другими союзами) предложения, связанные по смыслу. Но определениями логических операций смысл составляющих высказываний никак не учитывается; они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством – быть истинными либо ложными. Поэтому не стоит смущаться «бессмысленностью» некоторых составных высказываний, их смысл не входит в предмет нашего рассмотрения.

5. Эквиваленция (логическая равносильность).

    Эквиваленцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно  тогда и только тогда, когда оба  высказывания одновременно истинны либо ложны.

    Эквиваленция  обозначается или , читается «А тогда и только тогда, когда В».

    Таблица истинности для эквиваленции выглядит так:

    В форме эквиваленции, как правило, формулируются определения (например, определения логических операций).

    Пример 7: Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В – высказывание «10 делится на 3». Составьте высказывания, имеющие логическую структуру: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) и определите их значения истинности.

    Решение. а) = «Если 9 делится на 3, то 10 делится на 3» = 0, т.к. А = 1, а В = 0. б) = «Если 10 делится на 3, то 9 делится на 3» = 1. в) = «9 делится на 3 тогда и только тогда, когда 10 делится на 3» = 0. г) = «10 делится на 3 тогда и только тогда, когда 9 делится на 3» = 0. д) = «Если 9 не делится на 3, то 10 делится на 3» = 1 (т.к. А = 1, то = 0 и В = 0, следовательно, = 1). е) = «9 делится на 3 тогда и только тогда, когда 10 не делится на 3» = 1 (А = 1 и = 1, тогда = 1). 

3.3 Формулы логики высказываний

    В логике высказываний – первом и  основном разделе математической логики – элементарные высказывания рассматриваются как нерасчленяемые «атомы», а составные высказывания – как молекулы, образованные из «атомов» применением к ним логических операций. Логика высказываний интересуется единственным свойством элементарных высказываний – их значением истинности; составные же высказывания изучаются ею со стороны их логической структуры, отражающей способ, которым они образованы. Структура составных высказываний определяет зависимость их значений истинности от значений истинности составляющих элементарных высказываний.

    Так как смысл высказываний математическую логику не интересует, их вполне можно  заменить переменными.

    Пусть X, Y,…, Z,…, X_i, Y_i,…, Z_i – переменные, вместо которых можно подставить любые элементарные высказывания (или их значения истинности). Такие переменные называют пропозициональными или высказывательными переменными. С помощью высказывательных переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т.е. заменить формулой, отражающей его логическую структуру.

    Начнем  с того, что уточним понятие  формулы логики высказываний. Для  этого зададим алфавит, т.е. набор символов, которые мы будем употреблять в логике высказываний:

1. Х, Y,…, Z,…, X_i, Y_i,…, Z_i (i – натуральное число) – символы для обозначения высказывательных переменных;
2. И, Л, 1, 0 – символы, обозначающие логические константы «истина» и «ложь»;
3. – символы логических операций;
4. (, ), [, ] – скобки (вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения операций).