Математические методы в исследовании экономике. Менеджмент

Федеральное агентство по образованию 

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Южно-Уральский  государственный университет» 

Кафедра Экономической теории и мировой  экономики 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

по  курсу «Математические методы в исследовании экономике» 
 
 
 

                                                        
 
 

                                                                      Выполнил:                                                            

                                                                      Студент группы  Фи К №340

                                                                      Ненашева Н.С.

                                                                      Проверил: Никифоров С.А. 
 
 
 
 
 
 

Челябинск

2010 
 
 
 
 

ВАРИАНТ № 14 

1. Составить математическую модель производства продукции.
2. Построить графическую модель производства продукции.
3. определить область допустимых решений
4. Построить прямую прибыли.
5. Найти оптимальную точку, соответствующую оптимальному плану производства продукции.
6. Расчитать остатки ресурсов на следующий месяц.
7. Запланировать оптимальный объем продукции, который обеспечивает максимальную сумму прибыли.

 
 
 
 
 
 

1. Условия задачи представим в математической форме.

Обозначим через Х₁ некоторую величину продукцию А, а через Х₂ – В

  2) Выразим математически те ограничения, которые связаны с имеющимся  количеством – X, Y, Z

 

 Целевая функция должна имеет следующий  вид и стремиться к max

   

  Представим  на графике условия примера в  прямоугольной системе координат. Выберем ось абсцисс для значения X_1, ось ординат для значения X_2.

  На  графике проведем прямые соответствующие  представленным уравнениям.

  Прямые  определим по методу «двух точек»

 а)   25х₁ + 47х₂ = 1000

          х₁ = 0 то х₂ = 1000/47 = 21,28

          х₂ = 0  то х₁ = 1000/25 = 40

    б)  49х₁ + 23х₂ = 800

          х₁ =0  то х₂ = 800/23 = 21,28

          х₂ = 0 то  х₁ = 800/49 = 34,78

         в)   34х₂ = 600

            х₂ = 600/37 =16,33

Градуировку осей выбираем по максимальным значениям  показателей.

     Нанесем на график прямую, которая является прямой ограничения ресурсов Х

     Данная  прямая является ограничением ресурсов Х, т.е. экономически это означает, что  любая программа выпуска продукции  в рамках этого треугольника не вызовет  перерасхода ресурса Х.

     Нанесем на график вторую прямую, которая является ограничением ресурса У

     Два треугольника ограничивают ресурсы  Х и У. При наложении треугольников  друг на друга получаем некоторую  область ( четырехугольник) который  означает, что внутри этой области  можно выпускать любое количество продукции не вызывая перерасхода обоих ресурсов.

     Нанесем на график третью прямую, ограничивающую ресурс Z

     В результате пересечения прямых получена область ОАВСД, которая является областью допустимых решений, т.е. внутри этого прямоугольника любая произведенная программа не вызовет перерасхода ресурсов .

       Однако на графике необходимо  определить оптимальную точку,  которая обеспечит максимальную  прибыль и рациональный выпуск  продукции.

     Для определения оптимальной точки  необходимо построить прямую прибыли. Для этого в целевую функцию подставим любую прибыль, но чтобы число было кратным коэффициентам уравнения. Затем по методу «двух точек» построим прямую.

  29х₁ +24х₂ = 696

  Х₁ =0  х₂ = 696/24 =29

 Х₂ = 0  х₁= 696/29 = 24

       Чтобы найти оптимальную точку , прямую прибыли  необходимо переместить параллельно самой себе, т. О. чтобы получить единственную точку пересечения прямой прибыли и области ОАВСД.

       Такой точкой является точка С, она лежит  на пересечении прямых 1

( 25х₁ +47х₂ = 1000) и 2 ( 49х₁ + 23х₂ = 800) Поэтому надо решить систему уравнений

Х₁ =( 1000-47х₂) / 25

49*(1000-47х₂) / 25 + 23х₂ = 800

49000- 2273х₂ + 575х₂ = 20000

-1698х₂ = -29000

Х₂ = 17,07

Х₁ = 8,02

       Таким образом оптимальная программа  выпуска предусматривает производство 8 товара А и 17 товара В. Это обеспечит прибыль:

25*8 + 20*17= 232+408 = 640

Остатки ресурсов:

1000 –  ( 25*8 + 47*17) = 1000-( 200+799) =1

800 –  ( 49*8 + 23*17) = 800 – ( 392+391) = 17

600 –  ( 34*17) = 600-578 = 22