Математическое моделирование

  Натурным  моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Надо отметить, что такие разновидности натурного эксперимента, как производственный эксперимент и комплексные испытания, обладают высокой степенью достоверности.

  С развитием техники и проникновением в глубь процессов, протекающих  в реальных системах, возрастает техническая  оснащенность современного научного эксперимента. Он характеризуется широким использованием средств автоматизации проведения, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента, и в соответствии с этим появилось новое научное направление - автоматизация научных экспериментов.

  Отличие эксперимента от реального протекания процесса заключается в том, что  в нем могут появиться отдельные  критические ситуации и определяться границы устойчивости процесса. В ходе эксперимента вводятся новые факторы и возмущающие воздействия в процессе функционирования объекта. Одна из разновидностей эксперимента - комплексные испытания, которые также можно отнести к натурному моделированию, когда вследствие повторения испытаний изделий выявляются общие закономерности о надежности этих изделий, о характеристиках качества и т. д. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений, проходящих в группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т. е. можно говорить о производственном эксперименте. Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистический материал по производственному процессу и получают его обобщенные характеристики.

  Другим  видом реального моделирования  является физическое, отличающееся от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и нереальном (псевдореальном) масштабах времени, а также может рассматриваться без учета времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые "замороженные" процессы, которые фиксируются в некоторый момент времени. Наибольшие сложность и интерес с точки зрения верности получаемых результатов представляет физическое моделирование в реальном масштабе времени.

  С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить  на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под аналоговой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Под цифровой понимают модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, представленные в цифровом виде. Под аналого-цифровой понимается модель, которая может быть описана уравнениями, связывающими непрерывные и дискретные величины.

  Особое  место в моделировании занимает кибернетическое моделирование, в  котором отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как "черный ящик", имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздействиях внешней среды. Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения имитационной модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести на имитационной модели данную функцию, причем на базе совершенно иных математических соотношений и, естественно, иной физической реализации процесса.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

2. Общая постановка задачи линейного программирования.

 
 
 
 
 
 

  Любое предприятие производит продукты, затрачивая ресурсы. Продукт - результат производства, то, что выходит из производства. Это может быть материальный продукт (хлеб, машина, кирпич, дом, книга, видеокассета), либо услуга (транспортная, парикмахерская, предоставление в аренду жилья). Ресурс – то, что используется в производстве (труд, земля, сырье, техника). Причем ресурс - это не сам человек, земля или машина, а время использования их в производстве. Продукты и ресурсы в совокупности называются ингредиентами, под которыми понимается все, что имеет отношение к производству: ресурсы входят в производство, затрачиваются, продукты выходят из производства, создаются, порождаются.

  Технологический способ – это обособленная, выделенная часть производства, использующая определенные ресурсы и производящая определенные продукты. Каждый технологический способ имеет идентификатор (имя или номер) и единицу измерения его мощности (интенсивности). Технологическим способом может быть отдельная технологическая линия, напр., конвейер по сборке автомашин, но это необязательно. Универсальное оборудование может выпускать различную продукцию, тогда технологическим способом будет производство на данном оборудовании какого-либо продукта, или целой группы продуктов, если они производятся вместе.

  Не  может быть так, чтобы некоторым  технологическим способом производилась  продукция и не затрачивались  никакие ресурсы. Эта фантастическая ситуация называется в русских сказках  скатертью - самобранкой, а в греческой мифологии - рогом изобилия козы Амалфеи, из которого кормили в младенчестве будущего верховного бога Зевса. Если бы такой способ существовал, можно было бы производить неограниченное количество продукции без всяких издержек, что, конечно же, невозможно. Аналогично, не может существовать технологический способ, затрачивающий  ресурсы, но ничего не производящий. Это был бы не способ производства,  а способ уничтожения ресурсов.

  С каждым технологическим способом связан интерес человека, занятого планированием. Две противоположные постановки проблемы планирования:

  а) при заданном наличии ресурсов произвести как можно больше продукции;

  б) произвести заданное количество продуктов  при наименьшем расходе ресурсов.

  В просторечии задачу производства иногда формулируют следующим образом: произвести как можно больше продукции при наименьшем расходе ресурсов (максимизировать продукцию при минимальных издержках). Такая постановка проблемы невозможна, т. к. можно максимизировать или минимизировать только одну величину при ограничениях на остальные.

  Введем  обозначения:

j=1,…, n – номер технологического способа, его идентификатор;

i =1,…, m – номер ингредиента;

i=1,…, k - номер продукта, номера от единицы до k  присваиваем продуктам;

i = k + 1,…, m – номер ресурса,  ресурсам присваиваем номера от  k+1 до m;

a_ij - технологический коэффициент i-го ингредиента при единичной интенсивности использования j-го технологического способа;

a_ij при I ≤ k – выход( производство) i-го продукта при единичной интенсивности j-го технологического способа;

a_ij при i > k – расход i-го ресурса при единичной интенсивности использования j-го технологического способа;

b_i  -  ограничение на величину i-го ингредиента;

b_i при i≤ k - минимально допустимый объем производства i-го продукта; если такого ограничения нет, то b_i = 0;

b_i  при i > k - максимально допустимое значение расхода i-го ресурса; если такого ограничения нет, то b_i = ∞;

c_j  – показатель качества плана при единичной интенсивности использования j-го технологического способа; это может быть обьем производства одного из продуктов, который нужно максимизировать, либо расход одного из ресурсов, который нужно минимизировать; это могут быть другие показатели, напр., выпуск продукции или прибыль (их нужно максимизировать) или издержки (необходимо минимизировать);

x_j – плановая интенсивность использования j-го технологического способа (переменная, неизвестная величина) .

    Условия задачи удобно записать  в виде матрицы (рис. 4.3)

  Приступим к созданию математической модели. Для определенности будем считать, что c_j -  выпуск продукции в денежном выражении, который, естественно, нужно максимизировать. Будем последовательно собирать модель из элементов: 
 

    
 
 
 

  c_jx_j  -  плановый выпуск продукции j-м способом;

    –  плановый выпуск продукции  в совокупности всеми способами; само выражение называется целевой функцией и ее нужно максимизировать; численная величина целевой функции называется критерием оптимальности;

  a_ijx_j -  плановая величина i-го ингредиента;

  a_ijx_j при i ≤ k – плановый выпуск i-го продукта j-м способом;

    при i ≤ k - плановый выпуск i-го продукта всеми способами;

    при i ≤ k - нижняя граница выпуска i-го продукта; напомним, что если такого ограничения нет, то b_i = 0;

  a_ijx_j  при i > k – плановый расход i- го ресурса j-м способом;

    при i > k - плановый расход i-го ресурса всеми способами;

    при i > k - ограничение по расходу i-го ресурса (нельзя израсходовать больше b_i).

  Видно, что ограничения по продуктам (не меньше) и по ресурсам (не больше) имеют  противоположный смысл. С целью  упрощения записи желательно привести ограничения к одному виду. Для этого обе части ограничения по продуктам умножим на -1, а знак отношения сменим на противоположный (“не больше” заменим на “не меньше”).

  Последнее ограничение – величина x_j не может быть отрицательной. Технологический способ либо используется, и тогда x_j > 0, либо нет, и тогда x_j = 0. Если же допустить, что x_j < 0, это означало бы, что технологический способ работает в обратном направлении. Напр., вместо производства бензина, керосина, мазута и других продуктов будет создаваться нефть из нефтепродуктов. В большинстве случаев это технически невозможно и в любом случае - экономически нецелесообразно.

  Запишем математическую модель общей задачи линейного программирования.

  Найти max при ограничениях:

    

         x_j ≥ 0.

  Обратим внимание на то, что данную постановку задачи можно легко превратить в  противоположную. Умножив на -1 целевую  фукцию и ограничения по ингредиентам, получим.

  Найти  min при ограничениях:

      

        x_j ≥ 0.

  Обе постановки задачи эквивалентны. Модель составлена так, что на каждый ингредиент i имеется одно и только одно ограничение.

  Может случиться так, что не по каждому  ингредиенту (продукту или ресурсу) устанавливается ограничение. С  другой стороны, по некоторым ингредиентам могут быть два ограничения - сверху и снизу. Пусть b_i - плановая величина i-го ингредиента , – нижняя допустимая граница значения b_i , а - верхняя граница. Тогда количество ограничений по таким ингредиентам удвоится: