Математическое моделирование

  

  

  Для общности будем считать, что всегда есть нижняя  и верхняя границы. По умолчанию = 0, а = ∞. В каждом конкретном решении значения и уточняются.

  Вектор ( x₁,…,x_j,…,x_n ) называется планом. Любой план, удовлетворяющий ограничениям, называется допустимым. При решении модели могут возникнуть три случая:

  1) нет ни одного допустимого  плана; в таком случае говорят,  что система ограничений несовместна,  необходимо ослабить ограничения;

  2) целевая функция не ограничена; это значит, что целевая функция  несовместима с системой ограничений;  необходимо пересмотреть модель, уточнив ограничения и целевую функцию;

  3) система ограничений совместна  и целевая функция на множестве  допустимых решений ограничена; допустимый план, на котором целевая  функция достигает экстремума (максимума  или минимума в зависимости  от постановки), называется оптимальным; оптимальных планов может быть множество (более одного). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

3. Задача 1.

 
 
 
 
 

  Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S₁,S₂,S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей.  

 

  Найти ежедневный объем  выпуска каждого  вида обуви.

  Найти оптимальный план выпуска каждого  вида продукции. 

  Решение:

  Составим  модель задачи.

  Введем  обозначения:

  x1– количество сапог;

  x2– количество кроссовок;

  x3 - количество ботинок. 
 

  Целевая функция имеет вид:

  f(x) = 15*х1 + 12*х2+11*х3 → max/ 
 

  Выведем систему ограничений:

  5*х1 + 3*х2 + 4*х3 ≤ 2700;

  2*х1 + 1*х2 + 1*х3 ≤ 800;

  3*х1  + 2*х2 + 2*х3 ≤ 1600;

       
 

  Преобразуем полученные неравенства к виду:

      .

  Тогда получаем:

  -5*х1 - 3*х2 - 4*х3 ≥ -2700;

  -2*х1 – 1*х2 – 1*х3 ≥- 800;

   -3*х1 - 2*х2 - 2*х3 ≥ -1600  

    

  Решаем  задачу в Mathcad. 

  Зададим целевую функцию:

  F(x) = 15*х0 + 12*х1+11*х2

  (т.к.  в пакете Mathcad индексация начинается  с 0).

  Зададим матрицу коэффициентов системы  ограничений  и вектор свободных членов : 

                             

  Задаем  начальные значения:

     

  С помощью оператора Given и встроенной функции Maximize находим значения ограничений:

     Given

     A · x ≥ v

     x ≥ 0

          

     F(x) = 9600 

  Ответ: Ежедневный объем выпуска сапог составляет х1=0 пар, кроссовок х2=800 пар,  ботинок х3=0 пар. Оптимальный объем выпуска кроссовок составляет 9600.

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Задача  2.

 
 

  Графически  решить игру. 

 
 

  Решение:

                                           
 
 

    

 нижняя цена игры

    

 верхняя цена игры 
 
 

  Следовательно, = 7, так как α = β матрица игры имеет седловую точку.

    
 

                                                                9   А₂

                                                                     8   А₁   

                  А₁,А₃   7                                                       

                                                                     5   А₄

                      А₂    4                                     

                       А₄    3                                                           

                                                                     1    А₃

                                                        

    Если верхняя цена игры совпадает с нижней ценой игры, то их общее значение называется чистой ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие чистой цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением. Пара чистых стратегий дает оптимальное решение тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент а_ij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. В этом случае говорят, что игра имеет седловую точку.

  Гарантированный выигрыш первого игрока  не меньше 7, гарантированный проигрыш второго - не больше 7, то есть оптимальная стратегия первого игрока -А₁, второго - В_1.

  5. Задача 3.

  В универсаме имеется 2 кассы. Каждый покупатель, имеющий непустую кошелку, отправляется к кассам и занимает очередь. Интенсивность потока λ = 35 покупателей в час. Время обработки покупателя кассой мин. Дайте классификацию этой системы массового обслуживания. Найти все возможные ее функциональные характеристики. Сделайте выводы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Решение:

  1. Система с несколькими приборами  обслуживания (n=2).

  2. Система с неограниченной очередью (в которой заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы обслуживания были заняты)

Для СМО с  неограниченной очередью накладывается  ограничение 

  Если  это условие нарушено, то очередь  растет до бесконечности, наступает  явление «взрыва».

  Для данной задачи:

  n=2,  λ =35,

3 мин=0,05 часа, 

=20,  ρ= = =1,75,  = =0,875<1 

  Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):

                                    

 Вероятность занятости обслуживанием  всех каналов при  отсутствии очереди:

  

 
 

  Вероятность наличия очереди есть вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов:

  

 

 Среднее число занятых  обслуживанием каналов:

  

 

 Среднее число заявок в  очереди (длина очереди)

  

  Среднее число заявок в очереди (длина очереди)

  

 

 Среднее время ожидания заявки в очереди

  

 

 Среднее время пребывания заявки в системе

  

  Вывод:  

 

  Из  проведенных расчетов видно, что  данная система массового обслуживания работает эффективно при наличии  двух касс (n=2).