Методы использования дифференциального исчисления в задачах естествознания

решается  вполне элементарно.

Действительно, после деления на M(t) равенство (1) можно переписать в

виде 

V'(t) = (-ω  lnM)'(t).                                          (2)

Но если производные двух функций совпадают  на некотором промежутке,

то на этом промежутке сами функции отличаются разве что на некоторую 

постоянную.

Итак, из (2) следует, что

V(t) = -ω lnM(t) + c.                                          (3)

Если  известно, например, что V(0) = V₀, то это начальное условие вполне

определит константу с. Действительно, из (3) находим

c=V₀ + ω lnM(0)

а затем  находим искомую формулу¹⁾

V(t)=V₀ + ω ln

                                                (4)

Полезно заметить, что если m_k — масса корпуса ракеты, m_T — масса топ-

лива, а  V — конечная скорость, которую приобретает ракета после полной

отработки топлива, то, подставляя в (4) М(0) = m_k + m_T и M(t) = m_k, нахо-

дим

V= V₀ + ω ln

Последняя формула особенно ясно показывает, что на конечной скорости

сказывается не столько отношение m_t/m_k, стоящее под знаком логарифма,

сколько скорость истечения ω, связанная с видом топлива. Из этой формулы,

в частности, следует, что если V₀ = 0, то, чтобы придать скорость V ракете,

собственная масса которой гак, необходимо иметь  следующий начальный запас топлива:

m_t = m_k (e^V/ω — 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава II

Барометрическая формула. 
 

Так называется формула, указываю-

щая зависимость  атмосферного давления от высоты над  уровнем моря.

Пусть p(h) — давление на высоте h. Поскольку p(h) есть вес столба воздуха

над площадкой  в 1 см², расположенной на высоте h, то p(h + Δ) отличается

от p(h) весом  порции газа, попавшей в параллелепипед с основаниями в виде

исходной  площадки в 1 см², расположенной на высоте h, и такой же площадки

на высоте h + Δ. Пусть ρ(h) — плотность воздуха на высоте h. Поскольку

ρ(h) непрерывно зависит от h, то можно считать, что масса указанной порции

воздуха может быть вычислена по формуле

ρ(ξ) г/см³ ∙ 1 см2 ∙ Δ см = ρ(ξ)Δ г,

где ξ  — некоторый уровень высоты в  промежутке от h до h + Δ. Значит, вес

этой  массы есть g ∙ ρ(ξ) Δ.

Таким образом,

p(h + Δ) – p(h) = -g ρ(ξ) Δ.

Поделив это равенство на Δ и перейдя  к пределу при Δ → 0 с учетом того,

что тогда  и ξ → h, получаем

p'(h) = -g ρ(h).                                                  (5)

Таким образом, скорость изменения давления естественно  оказалась про-

порциональной плотности воздуха на соответствующей  высоте.

Чтобы получить уравнение для функции p(h), исключим из (5) функцию

ρ(h). В силу закона Клапейрона давление р, молярный объем V и темпера-

тура  Кельвина T газа связаны соотношением

                                                                    (6)

где R — так называемая универсальная газовая постоянная. Если М — масса

одного  моля воздуха, а V — его объем, то ρ =

, поэтому из (6) находим

p=

∙ R ∙ T = ∙ T = ρ ∙ .

Полагая λ =

T, таким образом, имеем

p = λ (Т)ρ.                                                              (7)

Если  теперь принять, что температура  описываемых нами слоев воздуха  по-

стоянна, то из (5) и (7) окончательно находим

p'(h)= -

p(h).                                                     (8) 
 
 
 
 
 

Это дифференциальное уравнение можно переписать в  виде

= -

или

(In р)'(h) =(-

h)',

oткуда

In р(h) =-

h + c,

или

p(h) = e^c ∙ e^-(g/λ)h.

Множитель е^с определяется из известного начального условия p(0) = р₀, в

силу  которого е^с = р₀.

Итак, мы нашли следующую зависимость  давления от высоты:

p = р₀ e^-(g/λ)h.                                       (9)

Для воздуха  при комнатной температуре (порядка 300 К = 27 °С) известно

значение  λ ≈ 7,7 ∙ 10⁸ (см/с)². Известно также, что g ≈ 10³ см/с². Таким

образом, формула (9) приобретает вполне законченный  вид после подстановки 

этих  числовых значении g и λ. В частности, из (9) видно, что давление упадет

в е(≈ 3) раз на высоте h =

= 7,7 ∙ 1О⁵ см = 7,7 км. Оно возрастет во столько

же раз, если опуститься в шахту на глубину  порядка 7,7 км. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава III

Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел. 
 

Известно, что ядра тяжелых элементов подвержены самопроизвольному (спон-

танному) распаду. Это так называемая естественная радиоактивность.

Основной  статистический закон радиоактивности (справедливый, следова-

тельно, для не слишком малых количеств  и концентраций вещества) состоит  в 

том, что  количество распадов за малый промежуток времени h, прошедший от

момента t, пропорционально h и количеству N(t) не распавшихся к моменту

t атомов вещества, т. е.

N(t + h) – N(t) ≈ -λN(t)h,

где λ > 0 — числовой коэффициент, характерный для данного химического

элемента.

Таким образом, функция N(t) удовлетворяет уже знакомому дифференци-

альному уравнению

N'(t) = - λ N (t),                                                  (10)

из которого следует, что 

N(t) = N₀e^-λt,

где N₀ = N(0) - начальное количество атомов вещества.

Время Т, за которое происходит распад половины из начального количе-

ства  атомов, называют периодом полураспада. Величина Т находитсй, таким 

образом, из уравнения e^-λT =

, т. е. Т = ≈ .

Например, для полония Ро²¹⁰ Т ≈ 138 суток, для радия Ra²²⁶ T ≈ 1600

лет, для урана U²³⁵ Т ≈ 7,1 ∙ 108 лет, а для его изотопа U²³⁸ Т ≈ 4,5 ∙ 109 лет.

Ядерная реакция — это взаимодействие ядер или взаимодействие ядра с

элементарными частицами, в результате которого появляются ядра нового

типа. Это может быть ядерный синтез, когда слияние ядер более легких эле-

ментов  приводит к образованию ядер более  тяжелого элемента (например, два

ядра  тяжелого водорода дают, с потерей  массы и выделением энергии, ядро

гелия); это может быть распад ядра и образование  ядра (ядер) более лег-

ких элементов. В частности, такой распад происходит примерно в половине

случаев столкновения нейтрона с ядром урана U²³⁵. При делении ядра урана

образуется 2—3 новых нейтрона, которые могут  участвовать в дальнейшем

взаимодействии  с ядрами, вызывая их деление и  тем самым размножение ней-

тронов. Ядерная реакция такого типа называется цепной реакцией.

Опишем принципиальную математическую модель цепной реакции в неко-

тором радиоактивном веществе и получим  закон изменения количества N(t)

нейтронов в зависимости от времени.

Возьмем вещество в виде шара радиуса r. Если r не слишком мало, то за

малый промежуток времени h, отсчитываемый от момента t, с одной стороны,

произойдет  рождение новых нейтронов в количестве, пропорциональном h и

N(t), а с другой — потеря части нейтронов за счет их выхода за пределы

шара.

Если  υ — скорость нейтрона, то за время h покинуть шар могут только те

из  них, которые удалены от границы  не более чем на расстояние υh, да и то

если  их скорость направлена примерно по радиусу. Считая, что такие нейтро-

ны  составляют неизменную долю от попавших в рассматриваемую зону и что

нейтроны  в шаре распределены примерно равномерно, можно сказать, что ко-

личество  теряемых за время Л нейтронов  пропорционально N(t) и отношению

объема  указанной приграничной области  к объему шара.

Сказанное приводит к равенству

N(t + h) – N(t) ≈ αN(t)h -

N(t)h                                  (11)

(ибо  объем рассматриваемой зоны равен  примерно 4πr²υh, а объем шара