Методы использования дифференциального исчисления в задачах естествознания

 πr³). Коэффициенты α и β зависят только от рассматриваемого радио-

активного вещества.

Из  соотношения (11) после деления на h перехода к пределу при h→О

Получаем

N'(t)=(α - 

)N(t),                                                    (12)

Откуда

N(t) = N₀ exp {( α - 

)t}

Из  полученной формулы видно, что при ( α - 

) > 0 количество нейтронов

будет экспоненциально во времени расти. Характер этого роста, независимо

от  начального условия N₀, таков, что за очень короткое время происходит

практически полный распад вещества с выделением колоссальной энергии —

это и есть взрыв.

Если ( α - 

) < 0, то очень скоро реакция прекращается ввиду того, что

теряется  больше нейтронов, чем рождается.

Если  же выполнено пограничное между  рассмотренными случаями условие

α - 

= 0,  то устанавливается равновесие между рождением нейтронов и

их  выходом из реакции, в результате чего их количество остается примерно

постоянным.

Величина  r, при которой α - 

= 0, называется критическим радиусом, а

масса вещества в шаре такого объема называется критической массой веще-

ства.

Для урана U²³⁵ критический радиус равен примерно 8,5 см, а критическая

масса около 50 кг.

В котлах, где подогрев пара происходит за счет цепной реакции в радио-

активном  веществе, имеется искусственный источник нейтронов, который до-

ставляет  в делящуюся массу определенное количество n нейтронов в единицу

времени. Таким образом, для атомного реактора уравнение (12) немного ви-

доизменяется:

N'(t)=(α - 

)N(t) + n                                    (13)

Это уравнение решается тем же приемом, что и уравнение (12), ибо

 есть  производная от функции   ln[(α -  )N(t) + n],

если  α - 

≠ 0. Следовательно, решение уравнения (13) имеет вид

Из  этого решения видно, что если α - 

>0 (сверхкритическая масса), то

произойдет  взрыв. Если же масса докритическая, т. е. ( α - 

) < 0, то очень

скоро будем иметь N(t) ≈

.

Таким образом, если поддерживать массу радиоактивного вещества в до-

критическом состоянии, но близком к критическому, то независимо от мощ-

ности дополнительного источника нейтронов, т. е. независимо от величины

n, можно получить большие значения N(t), а значит, и большую мощность

реактора. Удерживание процесса в прикритическои зоне — дело деликатное и

осуществляется  довольно сложной системой автоматического  регулирования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Примеры решения задач.

1. Барометрическая формула.

 

Условие:

Найдите зависимость давления от высоты при  температурах -40^оС, 0^оС и +40^оС.

Решение:

Исходя  из главы II данной курсовой работы, для нахождения зависимости давления от высоты, нам следует пользоваться следующей формулой:    p = р₀ e^-(g/λ)h. Где p – давление воздуха, h – высота на которой давление увеличивается или уменьшается в 3 раза, которая находится по формуле h =

,   g ≈ 10³ см/с²,   λ = T.

Итак, найдем λ. По формуле мы видим λ =

T, где R — так называемая универсальная газовая постоянная, М — масса

одного  моля воздуха, T – температура по Кельвину.

Учитывая, что мы не располагаем данными  по значениям R и M, но понимаем что это постоянные величины, то мы выведем значение

из примера который был в главе II, а дальше нам останется только подставлять значение T исходя из условия.

В главе  II для воздуха при комнатной температуре (порядка 300 К = 27 °С)

значение  λ ≈ 7,7 ∙ 10⁸ (см/с)², следовательно, 7,7 ∙ 10⁸ =

T, или

7,7 ∙  10⁸ =

∙ 300,       = (7,7 ∙ 10⁸) : 300.

Отсюда  λ ≈ ((7,7 ∙ 10⁸) : 300) ∙ T.

Из  всего вышесказанного:

При -40^оС   λ ≈ 5.4 ∙ 10⁸, а h =

= 5.4 (км)

При 0^оС λ ≈ 7.007 ∙ 10⁸, а h =

= 7 (км)

При -40^оС   λ ≈ 8 ∙ 10⁸, а h =

= 8 (км) 
 

2. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный  котел.

 

Условие:

Атомы радия в породе составляют примерно 10^-12 часть всех атомов, каково было содержание радия 10⁵, 10⁶ и 5 ∙ 10⁹ лет тому назад (5 ∙ 10⁹ – предположительный возраст земли).

Решение:

Решение проводится по формуле: N(t) = N₀e^-λt,

где N₀ = N(0) - начальное количество атомов вещества, N(t) -  настоящее количество атомов вещества, e ≈ 2.7 .

Время Т, за которое происходит распад половины из начального количе-

ства  атомов, называют периодом полураспада. Величина Т находится, таким

образом, из уравнения e^-λT =

, т. е. Т = ≈ .

N(t) = 10^-12, N₀ = x,  10^-12 = x ∙ 2,7^-λt

10^-12 = x ∙ 2,7^{-λ ∙ 5 ∙ 10^9}, 1600 =

, λ = 0,69 : 1600 = 4.3 ∙ 10^-4.

10^-12 = x ∙ 2,7^{-4.3 ∙ 10^4 ∙ 5 ∙ 10^9}

x =10^-12 : 2.7^{-21.5 ∙ 10^13}  

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 
 

Всегда  важно знать где твои знания будут  применятся в дальнейшем.

Именно  поэтому в данной работе мы с удовольствием увидели математический аппарат в конкретной работе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы:

1. Зорич В. А.

Математический  анализ. Насть I. Изд. 2-е, испр. и доп.

М.: ФАЗИС, 1997. - xiv + 554 с.