Методы решения логарифмических уравнений и неравенств

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение 
высшего профессионального образования 

 

 

 

 

МЕТОДЫ  РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

курсовая работа

 

 

 

 

 

	Исполнитель: ФИО ________________________________ (подпись)
«Прошла защиту»     Оценка ________________________	Руководитель: ФИО ________________________________ (подпись)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волгоград

2011

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………...….3

 

1. История возникновения логарифмов…………………………….………….5

 

2. Логарифмические уравнения и неравенства………………………………..7

2.1. Понятие логарифма

2.2 Понятие логарифмического уравнения

2.3. Понятие логарифмического неравенства

2.4. Свойства логарифма

 

3. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств……………12

3.1  по определению логарифма

3.2  замена переменной

3.3  по основным свойствам и формулам логарифма

3.4  метод потенцирования

3.5  метод приведения логарифмического уравнения к квадратному

3.6  метод логарифмирования обеих частей уравнения

3.7  метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

3.8  графический метод

 

4. Методы решения логарифмических неравенств…………………………..17

 

5. Практикум по решению логарифмических уравнений и неравенств….....20

 

Заключение………………………………………………………………………24

 

Список литературы……………………………………………………………...25

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Если  в XVI в. логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложнейшими расчетами? Ведь не изучаются же в современной школе такие старинные средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем ответить на этот интересный вопрос.

Во-первых, уже умеем записывать решение  показательного уравнения, например уравнения 2х = 5. А значит, знание логарифмов позволит нам решать задачи, сводящиеся к  простейшим показательным уравнениям.

Во-вторых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

В-третьих, частое применение находит логарифмическая  функция. Испокон веков целью  математической науки было помочь людям  узнать больше об окружающем мире, познать  его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления. Изучение этой модели позволяет людям больше узнать о природном явлении, глубже уяснить его природу и свойства. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. 

Объект исследования: Логарифмические уравнения и неравенства

Предмет исследования: Методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Цель исследования: Систематизировать и описать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Задачи исследования:

1. Провести краткий ретроспективный анализ возникновения логарифмов
2. Выбрать рабочее определение логарифмического уравнения и неравенства
3. Систематизировать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств
4. Разработать практикум по решению логарифмических уравнений и неравенств описанными методами.

Обратимся к материалам исследования.

 

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ

 

 

Принцип, лежащий в основе любой системы  логарифмов, известен очень давно  и может быть прослежен в глубь  истории вплоть до древневавилонской  математики (около 2000 до н.э.). В те времена  интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых  чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже  Архимед (287–212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком  заполнить известную в те времена  Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности  логарифмов: произведение степеней соответствует  сумме показателей степеней. В  конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению  между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем  сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных  и отрицательных степеней числа 2: Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей  степени) равна показателю степени  двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи  с этой таблицей Штифель сформулировал  четыре правила, эквивалентных четырем  современным правилам операций над  показателями степеней или четырем  правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует  произведению в нижней строке; вычитание  в верхней строке соответствует  делению в нижней строке; умножение  в верхней строке соответствует  возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня  в нижней строке. По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели  Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении  Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения  произведений в суммы еще с  тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер  получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге  его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы.  Таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число (1 – 10–7)ґ107, приближенно равное 1/e. Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10–4) ґ104, достаточно хорошему приближению числа e. В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г.Бриггс (1561–1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины «характеристика» и «мантисса» были предложены Бриггсом.

Для чего были придуманы логарифмы? Конечно  для ускорения и упрощения  вычислений. Изобретатель первых логарифмических  таблиц,  Неппер, так говорит о  своих побуждениях:

«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики»

В самом  деле, логарифмы чрезвычайно облегчают  и ускоряют вычисления, не говоря уже  о том, что они дают возможность  производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени).

 

2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И  НЕРАВЕНСТВА

 

 

Определение 1:  Логарифмом числа b по основанию а,  называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

 

Определение 2: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

 

Определение 3: Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида :        

 

 Свойства логарифмов:

 

Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.

Теорема 1.

Логарифм  произведения двух положительных чисел  равен сумме логарифмов этих чисел:

 

Например:

 

 

Доказательство:

 Введём  следущие обозначения: Требуется доказать, что выполняется равенство

Так как 

Так как 

Так как 

Итак,

Значит,

А так  как степени двух положительных  чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны  и показатели степеней. Значит, что и требовалось доказать.

Замечание: Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.

Например:

 

 

Теорема 2:

Логарифм  частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

 

 

Например:

 

 

Доказательство:

Введём  следущие обозначения:

 Требуется  доказать, что выполняется равенство 

Так как 

Так как 

Так как 

Итак,

Значит,

А так  как степени двух положительных  чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны  и показатели степеней. Значит, что и требовалось доказать.

 

 

Теорема 3:

Логарифм  степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени:

 

Например:

 

 

Доказательство:

Введем  следующие обозначения: Требуется доказать, что

Из  следует, что из следует, что Возведя обе части последнего равенства в степень , получим .

Итак, , значит,  что и требовалось доказать.

Теорема 4:

Равенство , справедливо тогда и только тогда, когда

Это достаточно очевидное следствие монотонности логарифмической функции.

Теорема 5: Если положительные числа, причем отличны от 1, то имеет место равенство

 

Это есть формула перехода к новому основанию  логарифма.

Например:

 

 

Доказательство:

Введем  следующие обозначения: Требуется доказать, что

Из  следует, что из следует, что Итак Далее, из следует, что . Значит,  что фактически и требовалось доказать.

Рассмотрим  два важных частных случая формулы  перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1:

Если  положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство

 

Например:

 

Доказательство: Применив формулу перехода к случаю, когда , получим:

 

Следствие 2:

Если положительные числа, причем , то для любого числа справедливо равенство

 

 Например:

 

Доказательство: Перейдем в выражении  к логарифмам по основанию

 

Еще раз  подчеркнем, что все свойства логарифмов получены при условии, что переменные принимают положительные значения. А как быть если о знаке переменной ничего не известно? Можно ли, например, написать , если о знаке числа ничего не известно? Ответ: нельзя! Поскольку при левая часть равенства определена, а правая не определена. В этом случае нас выручит знак модуля. Поскольку правильное равенство выглядит так: .

Это частный  случай общей формулы:

 

Стоит помнить  и о том, что заменять выражение  выражением можно лишь в случае, когда . Если уверенности в этом нет, но известно, что , то, поскольку выполняется равенство , следует использовать формулу

 

Если  некоторое выражение  составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления, возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы чисел . Такое преобразование называют логарифмированием. Ценность операции логарифмирования состоит в том, что она позволяет сводить вычисления к операциям более низкого порядка.

 

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ

 

 

Логарифмические уравнения можно решать различными методами:

 

3.1 ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЛОГАРИФМА

   

 a>0,  a≠1,  b>0

Например:

log₂ х=3

X=8, потому что 2³=8

 

3.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ

 

Замечание 1: Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Замечание 2: Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Например:  

 

  log₅ (-x⁷)+2=log₂₅ x⁸

 

О.Д.З. уравнения:  log₅(-x⁷)+2=log₂₅x⁸ – множество отрицательных чисел.

Обозначим t=-x, тогда t>0.

 

  log₅ t⁷+2=log₅ t⁴, используем формулу   log_a^α b^β =    log_a b

7 log₅ t+2=4log₅ t

3log₅ t = 2

log₅ t = - 2/3

t = 5^{- 2/3}

x = -5^-2/3

 

Ответ: x = -5^-2/3

 

3.3. ПО ОСНОВНЫМ СВОЙСТВАМ И  ФОРМУЛАМ ЛОГАРИФМА

Например:

Решите уравнение  

ОДЗ данного  уравнения:

Выполним  цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.  
 
 
 
 

1) 3 x  – 4 = 0, − входит в ОДЗ.

2) ( x  + 1 > 0 в ОДЗ),

 
x  = 0 − не входит в ОДЗ.

x  = 3 − входит в ОДЗ.

Ответ. 3, 4/3

 

3.4. МЕТОД ПОТЕНЦИРОВАНИЯ

 

 Под потенцированием  понимается переход от равенства,  содержащего логарифмы, к равенству,  не содержащему их: 
если log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а 1.

Log₆(3^x2+1)-log₆(3^2-x2+9)=log₆2-1.

Представим  уравнение в виде log₆(3^x2+1)-log₆(3^2-x2+9)=log₆2-log₆6.

После потенцирования имеем 

           3 ^x2+1             2                               3^х2+1         2

Log=──── =log₆ ──    или, упрощая, ──── =  ──

           3^2-x29               6                               9▪3^-х2 +9     6

 

Или 3^2х2-2▪3^х2-3=0 . Решая это уравнение как квадратное относительно 3^х2, получим 3^х2=-1, что не имеет смысла, и 3^х2=3, откуда Х²=1или Х_1,2=± 1.

Ответ: -1; 1.

 

3.5. МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО  УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

 

√log_3x⁹– 4log₉√3x=1.

ОДЗ х>0, √log₃x9,

          Log₃ >0 или х>1.

Запишем уравнение  в виде √log₃х⁹ =1+4log₉√3х или √9log₃х+log₃3x, или √ уравнения 9log₃x=1+log₃3+log₃3, или √9log₃x=2+log₃x. Возведя обе части в квадрат, получим 9log₃x=4+4log₃x+log²₃x или log²₃x-5log₃x+4=0. Решая это уравнение как квадратное относительно log₃x, найдем (log₃х)₂=4, откуда получим Х₁=3, Х₂=3⁴=81.