Методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Ответ: 3; 81.           

 

3.6.  МЕТОД ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ ОБЕИХ  ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ

 

Решить уравнение  применим свойство "логарифм степени".

Оба корня  принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

 

3.7.  МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ  К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ ОСНОВАНИЮ

 

Решить уравнение 

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как  , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

 

3.8.  ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

 

Решить уравнение 

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций  не пересекаются, и, значит, уравнение  не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

 

4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ  НЕРАВЕНСТВ

 

 

Теорема 1:

Пусть решение системы неравенств Тогда неравенство равносильно на множестве неравенству .

Теорема 2:

Пусть решение системы неравенств Тогда неравенство равносильно на множестве неравенству .

На практике эти теоремы применяют следующим  образом: переходят от неравенства  при к равносильной ему системе неравенств

 

а при  – к равносильной системе неравенств

 

Первые  два неравенства каждой из этих двух систем определяют область допустимых значений для переменной неравенства , а знак последнего неравенства каждой из систем либо совпадает со знаком неравенства – в случае, когда , либо противоположен знаку неравенства – в случае, когда .

Пример 1: Решить неравенсто .

Решение: Имеем последовательно:

 

 

Значит, заданное неравенство, можно переписать так:

 

Поетнциируя, освободимся от знаков десятичных логарифмов и получим неравенство того же смысла: А условия, задающие область допустимых значений переменной, (!) всегда определяются по исходному неравенству; в данном примере они таковы: В итоге получаем систему неравенств

 

 

Превые  два неравенства можно переписать в виде одного двойного неравенства  Решим третье неравенство системы:

 

 

 

Отметив на числовой прямой решение третьего неравенства совместно с полученным ранее интервалом , находим их пересечение . То есть решение составленной выше системы неравенств:

 

   //////////////////// 5                             40  ////////////////////////////////

            0 ///////////////////////////////////////////////////////////////                 45           

Ответ:

Пример 2:  Решить неравенство:

 

Решение: Преобразуем неравенство:

  

Найдем, при каких значениях х левая часть имеет смысл:

           -3           -2                                                        3

             //////////////////////////////////////////////////////////////////                                                                                    

Получаем:    или    

Значит,   при всех допустимых значениях x.

Поэтому,                       

 

Сделаем замену  . Получаем:

Таким образом,

откуда 

                

Решив полученное квадратное уравнение, найдем корни: -6 и -1. Условию    или     удовлетворяет только x=-1.

Ответ. -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

 

 

 

№ 1. Вычислите значение выражения .

Решение: .

Ответ: – 4.

№ 2. Постройте график функции:

а)

б) .

Решение:

а)

б)

№ 3. Решить уравнение .

Решение: Потенцируя, получим:

 

Из уравнения  находим три корня: .

Проведя проверку, мы выясним, что  – посторонние корни уравнения.

Ответ: 4.

№ 4. Решить уравнение: .

Решение:

 

 

 

 

Ответ:

№ 5. Решите неравенство

Решение: Найдем ОДЗ:

 

 

 

 

 

-0,5     4

     ////////////////////////////////////////    

 

 

 

 

 

 

///////////   /////////////   //////////////////////////////

-3   -1      0  1    

                                                                                                                                                          

Ответ:

№ 6. Решить уравнение .

Решение: Потенцируя, получим:

 

 

Из уравнения находим три  корня: .

Проведя проверку, мы выясним, что  – посторонние корни уравнения.

Ответ: 4.

             №7. Решить неравенство 

     Решение.

Заменим данное неравенство  равносильной совокупностью:

                   

Ответ: , .

 

             № 8.  Решить неравенство

     .

Решение.

Ключевым моментом в решении  данного неравенства является поиск  его области определения.

    

    

    

Выяснить, что область  определения неравенства состоит  только из двух точек.

Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют  неравенству.

При неравенство принимает вид - истинно.

При неравенство принимает вид

     - ложно.

Ответ: .

 

             № 9.Решить неравенство

Решение

 

 

Ответ:   

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В работе мы показали всю важность знаний, связанных с логарифмическими уравнениями и неравенствами. Мы изучили методы, с помощью которых можем сделать решение более удобным и понятным. Целью нашего исследования было систематизировать и описать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств, что мы и сделали.

Перед нами стояли важные задачи, такие как:

1. Провести краткий ретроспективный  анализ возникновения логарифмов

2. Выбрать рабочее определение  логарифмического уравнения и  неравенства

3. Систематизировать основные методы  решения логарифмических уравнений  и неравенств

4.  Разработать практикум по  решению логарифмических уравнений  и неравенств описанными методами.

Логарифмы очень важны в математическом образовании, ведь именно благодаря  им мы можем упрощать вычисления, приводить  сложные уравнения и неравенства  к простейшим. В проведённой работе раскрыта вся важность этой темы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

1. Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей, Том 11. Математика. –      Аванта+, 1998.

            2. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А., Рязановский А.Р., Семенов П.В. Единый государственный экзамен 2008. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2007.

          3. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ –М.: Интеллект-Центр, 2010.

 4. Корн Г. и  Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, Москва 1975

6. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 11 кл

7. Перельман Я. И. Занимательная алгебра, изд. Наука, М. 1967;

          8. Сергеев И.Н., Панфёров В.С. ЕГЭ 2011.Математика. Задачи С3.Уравнения и неравенства/ под ред. А.Л.Семёнова и И.В. Ященко.- М.:МЦНМО, 2011

         9.  Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980

10. Штейн Е.А. Большая  школьная энциклопедия, том 1; Москва 2004