Многочлены

Новосибирский государственный педагогический университет.

Математический  факультет.

Кафедра алгебры. 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа по математике.

Многочлены 
 
 
 
 

Выполнила: студентка 35гр.

Голобокова О.В.

Научный руководитель:

старший преподаватель

Гейбука С.В. 
 
 
 
 
 

г. Новосибирск, 2008

 

Содержание 

1. Введение
2. Корень многочлена
3. Схема Горнера
4. Кратные корни многочлена
5. Рациональные корни многочлена
6. Задачи о многочленах

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 

     Способ  нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения  линейных и квадратных уравнений, был  известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения  общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени. 

     То, что корни общего уравнения пятой  степени и выше не выражаются при  помощи рациональных функций и радикалов  от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга). 

     В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм. 

     Для приблизительного нахождения (с любой  требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными  коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма. 
2. КОРЕНЬ МНОГОЧЛЕНА 

Корень  многочлена

над полем k — элемент  , такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

данный  многочлен делится на многочлен x − c;

подстановка элемента c вместо x обращает уравнение

в тождество. 

     Равносильность  двух формулировок следует из Теоремы  Безу. В различных источниках любая  одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы. 

     Теорема Безу утверждает что остаток от деления  многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a).

     Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел). 

Доказательство:

Поделим с остатком многочлен P(x) на многочлен x − a:

P(x) = (x −  a)Q(x) + R(x).

Так как degR(x) < deg(x − a) = 1, то R(x) — многочлен  степени не выше 0. Подставляя x = a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(a). 

Следствия

     Число a является корнем многочлена p(x) тогда  и только тогда, когда p(x) делится  без остатка на двучлен x − a (отсюда, в частности, следует, что множество  корней многочлена P(x) тождественно множеству  корней соответствующего уравнения P(x) = 0).

     Свободный член многочлена делится на любой  целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент  равен 1, то все рациональные корни  являются и целыми).

Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k. 

Приложения

     Теорема Безу и следствия из неё позволяют  легко находить рациональные корни  полиномиальных уравнений с рациональными  коэффициентами. 

     Число корней многочлена степени n не превышает n даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.

     Всякий  многочлен p(x) с вещественными или  комплексными коэффициентами имеет  по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема  алгебры) .

     Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).

     Более того, многочлен с вещественными  коэффициентами p(x) можно записать в  виде

где — (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней  многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.

Число комплексных корней многочлена с  комплексными коэффициентами степени n, учитывая кратные корни кратное  количество раз, равно n. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное. 

Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета: 

Если  — корни многочлена

(каждый  корень взят соответствующее  его кратности число раз), то  коэффициенты  выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно: 

 

     Иначе говоря ( − 1)kak равно сумме всех возможных  произведений из k корней. 

Если  старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен. 

Доказательство

     Доказательство  осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что a0 = 1

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (теорема единственности), получаем формулы Виета. 

3. Схема Горнера 

     Разделить с остатком многочлен f (x) на ненулевой многочлен g (x) - это значит представить f (x) в виде f (x) =g (x) s (x) +r (x), где s (x) и r (x) -многочлены и либо r (x) =0, либо ст. r (x) < ст. g (x). S (x) назовем неполным частным, а r (x) - остатком при делении f (x) на g (x). 

     Неполное  частное при делении можно  найти с помощью простого правила, называемого схемой Горнера, которое, кстати, позволяет найти и остаток. 

     Пусть f (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a_0, a_n≠0 - многочлен n-й степени. При делении его на x - c мы получим неполное частное s (x) и остаток r, т.е. f (x) = (x - c) s (x) + r. Так как ст. f (x) = n, а ст. (x - c) = 1, то

ст. s (x) = n - 1, т.е. s (x) = b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + … + b₁x+ b₀, b_n-1 ≠ 0. Таким образом, имеем равенство:

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a₀ = (x - c) (b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+ …+b₁x+b₀) +r. 

     Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого соотношения, равны, а значит, равны их соответствующие коэффициенты. Приравняем их, раскрыв предварительно скобки и приведя подобные члены в правой части данного равенства. Получим: 

a= b_n-1,a_-1 = b_n-2 - cb_n-1,a_-2 = b_n-3 - cb_n-2,

a₂ = b₁ - cb_2,a₁ = b₀ - cb_1,a₀ = r - cb₀. 

     Напомним, что требуется найти неполное частное, т.е. его коэффициенты, и остаток.

Выразим их из полученных равенств: 

b_n-1 = a_n,

b _n-2 = cb_n-1 + a_n-1,b _n-3 = cb_n-2 + a _n-2,

b₁ = cb₂ + a_2,b₀ = cb₁ +a_1,r = cb₀ + a_0. 

     Мы  нашли формулы, по которым можно  вычислять коэффициенты неполного  частного s (x) и остаток r. При этом вычисления оформляются в виде следующей таблицы; она называется схемой Горнера. 

Таблица 1.

Коэффициенты  f (x)

 

Коэффициенты  s (x) остаток

     В первую строку этой таблицы записывают подряд все коэффициенты многочлена f (x), оставляя первую клетку свободной. Во второй строке в первой клетке записывают число c.

     Остальные клетки этой строки заполняют, вычисляя один за другим коэффициенты неполного  частного s (x) и остаток r. Во второй клетке записывают коэффициент b_n-1, который, как мы установили, равен a_n.

     Коэффициенты, стоящие в каждой последующей клетке, вычисляются по такому правилу: число c умножается на число, стоящее в предыдущей клетке, и к результату прибавляется число, стоящее над заполняемой клеткой. Чтобы запомнить, скажем, пятую клетку, т.е. найти стоящий в ней коэффициент, нужно c умножить на число, находящееся в четвертой клетке, и к результату прибавить число, стоящее над пятой клеткой.

     Разделим, например, многочлен f (x) =3x⁴-5x²+3x-1 на х-2 с остатком, используя схему Горнера.

     При заполнении первой строки этой схемы  нельзя забывать о нулевых коэффициентах  многочлена.

     Так, коэффициенты f (x) - это числа 3, 0, - 5, 3, - 1. И еще следует помнить, что степень не полного частного на единицу меньше степени многочлена f (x). 

Итак, выполняем  деление по схеме Горнера: 

Таблица 2.