Многочлены

Решение.

Если  x=i - корень многочлена, то его корнем является так же число x=-i , теперь по теореме Виета найдем b и c: 

и многочлен  принимает вид: ax +a , который можно привести к нужному виду:

ч. т.д.

Задача 3.

Докажите, что многочлен x¹²-x⁹+x⁴-x+1 при всех действительных значениях x положителен.

Решение.

Разберем  отдельно случаи при x<0 и x≥0.

В первом случае разобьем многочлен на три  слагаемых:

(1-x) + (x⁴-x⁹) +x¹², 1-x>0, x⁴-x⁹=x⁴ (1-x⁵) >0, x¹²>0, следовательно и вся сумма больше нуля.

Во втором случае представим многочлен в виде:

(x⁸+1) (x⁴-x) +1, x⁸+1>0.

Для x⁴-х рассмотрим два случая: при х>1, x⁴-х>0, следовательно и все выражение больше нуля; при х<1, - 1<x⁴-х≤0, а выражение x⁸+1 чуть больше 1, следовательно произведение - 1< (x⁸+1) (x⁴-x) ≤.0 и вся сумма больше нуля.Ч. т.д. 

Задача 4.

При каких  значениях a и b многочлен x⁴+ax³+bx²-8x+1 имеет точный квадрат.

Решение.

Точный  квадрат имеет вид: (mx²+nx+p) ², возведем его в квадрат: (mx²+nx+p) ²=m²x⁴+ (nx+p) ²+2mx² (nx+p) =m²x⁴+n²x²+p²+2npx+2mnx³+ 2mpx²=m²x⁴+2mnx³+ (n²+2mp) x²+2npx+p². Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях.

1 случай:

2 случай:

3 случай:

4 случай:

Ответ: a₁=-8, b₁=18; a₂=8, b₂=14. 

Задача 5.

Докажите, что если многочлен a₀xⁿ+a₁x^n-1+ … +a_n, a₀≠0 при всех действительных значениях х положителен, то он представляется в виде суммы квадратов двух многочленов.

Решение.

Данный  многочлен не может иметь действительных корней; следовательно, его корни  являются попарно комплексно-сопряженными. Поэтому многочлен представляется в виде: 

A [ (x-б₁) … (x-б_k)] [ (x- ) … (x- )], где А>0. 

Если  f (x) - действительная часть многочлена, получающегося после раскрытия скобок в первой квадратной скобке, и g (x) - его мнимая часть, то вторая квадратная скобка представляется в виде f (x) -ig (x) (так как она комплексно-сопряжена с первой).

Данный  многочлен, следовательно, равен 

A [f (x) +ig (x)] [f (x) - ig (x)] = A [f² (x) +g² (x)]. 

Задача 6.

Число с является корнем многочлена

f (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a₀. Укажите какой-либо корень многочлена на g (x) =aⁿxⁿ-a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+ … + (-1) ⁿa₀.

Решение.

Так как  с - корень, то 

f (c) =a_ncⁿ+a_n-1c^n-1+a_n-2c^n-2+ … +a₁x+a₀=0. 

Покажем, что -с - корень многочлена g (x). Вычислим 

g (-c) =a_n (-c) ⁿ-a_n-1 (-c) ^n-1+a_n-2 (-c) ^n-2 - … + (-1) ⁿa₀. 

Если  n - четное число, то n-1 - нечетное, n-2 - четное, n-2 - четное и т.д. Тогда g (-c) =a_ncⁿ+a_n-1c^n-1+a_n-2c^n-2+ … +a₀=0. Если же n - нечетное, то n-1 - четное, n-2 - нечетное и т.д. Тогда g (-c) =-a_ncⁿ-a_n-1c^n-1-a_n-2c^n-2 - … - a₀= - f (c) =0. 

Задача 7.

Пусть многочлен f (x) с целыми коэффициентами принимает значение, равное 5, при пяти различных целых значениях переменной х. докажите, что f (x) не имеет целых корней. 
 

Решение.

Пусть с₁, с₂, с₃, с₄, с₅ - такие числа, что f (c₁) =f (c₂) =f (c₃) =f (c₄) =f (c₅) =5. Рассмотрим многочлен g (x) =f (x) - 5. Числа с₁, с₂, с₃, с₄, с₅ являются его корнями, а значит, f (x) =f (x) - 5= (x-c₁) (x-c₂) (x-c₃) (x-c₄) (x-c₅) s (x). Если теперь а - целый корень многочлена f (x), то, положив в последнем равенстве х=а, получим - 5= (a-c₁) (a-c₂) (a-c₃) (a-c₄) (a-c₅) s (a). так как все числа с₁, с₂, с₃, с₄, с₅ различны, то различны и числа a-c₁, a-c₂, a-c₃, a-c₄, a-c₅. Следовательно, число - 5 имеет по крайней мере пять различных целых делителей, в то время как на самом деле их только четыре: ±1, ±5. Пришли к противоречию. 

Задача 8.

Пусть f (x) - многочлен с целыми коэффициентами и несократимая дробь l/m является его корнем. Докажите, что если: f (0), f (1) - нечетные числа, то m - четное число.

Решение.

Так как  f (0) - свободный член многочлена f (x), f (0) делиться на l. Отсюда следует, что l - нечетное число. Далее, так как f (1) делится на l-m, то l-m - тоже нечетное число. Отсюда следует, что разность l- (l-m) =m - четное число. 

Задача 9.

Многочлен f (x) обладает следующим свойством: для некоторой арифметической прогрессии значения х с разностью, отличной от нуля, соответствующее значение многочлена так же образует арифметическую прогрессию.

Докажите, что ст. f (x) ≤1.

Решение.

Обозначим члены арифметической прогрессии, которую  образуют значения х, через с₁, с₂, с₃, …, а разность - через d₁. тогда соответствующая арифметическая прогрессия значений многочлена имеет вид: f (c₁), f (c₂), f (c₃), …; обозначим ее разность d₂. рассмотрим многочлен g (x) = (d₂/d₁) x+f (c₁) - (d₂/d₁) c₁. Имеем. 

g (c₁) = (d₂/d₁) c₁+f (c₁) - d₂/d₁) c₁=f (c₁),

g (c₂) = (d₂/d₁) c₂+f (c₁) - (d₂/d₁) c₁=f (c₁) + (d₂/d₁) (c₂-c₁) =f (c₁) + (d₂/d₁) d₁=f (c₁) +d₂=f (c₂). 

Аналогично  устанавливается, что g (c₃) =f (c₃), g (c₄) =f (c₄), …, g (c_n+1) =f (c_n+1). Таким образом f (x) и g (x) принимают одинаковые значения при x=c1, с2, с3, …, с_n, а значит, f (x) =g (x). Тогда ст. f (x) =ст. g (x) ≤1 (если d₂=0, то g (x) - многочлен нулевой степени). 

Задача 10.

Найдите степень многочлена f (x), если, f (x) = (a²-4) x³+ (a-2) x²+3.

Решение.

Если  a²-4≠0, т.е. a≠±2, то ст. f (x) =3. Осталось рассмотреть случаи a=-2 и a=2. Если a=-2, то f (x) =-4x2+3, т.е. ст. f (x) =2. Если a=2, то f (x) =3, т.е. ст. f (x) =0. 

Задача 11.

Найдите многочлен второй степени f (x), если, f (1) =1, f (2) =2, f (3) =5.

Решение. Многочлен второй степени имеет вид f (x) =ax²+bx+c. Вычислив f (1), f (2), f (3), получим 

Решив эту систему, найдем: a=1, b=-2, c=2, т.е. f (x) =x²-2x+2.

Задача 12.

Даны  многочлены f (x) =x³-2x²+3 и g (x) =x²-x+2. Найдите f (g (1)).

Решение.

Вычислим  сначала g (1) =1²-1+2=2. Тогда f (g (1)) =f (2) =2³-2Ч2²+3=3.

Задача 13.

Даны  многочлены f (x) и g (x), причем ст. (f (x) g (x)) =5 и ст. (f (x) +g (x)) =3. Найдите ст. f (x) и ст. g (x).

Решение.

Из условий  задачи следует, что ст. f (x) +ст. g (x) =5. Значит, возможны следующие случаи: 

ст. f (x) =0, ст. g (x) =5;

ст. f (x) =1, ст. g (x) =4;

ст. f (x) =2, ст. g (x) =3;

ст. f (x) =3, ст. g (x) =2;

ст. f (x) =4, ст. g (x) =1;

ст. f (x) =5, ст. g (x) =0. 

Если  допустить, что ст. f (x) =0, ст. g (x) =5, то легко заметить, что ст. (f (x) +g (x)) =5. Значит, случай 1 невозможен. Аналогично и в случаях 2, 5,6. Таким образом, либо ст. f (x) =2 и ст. g (x) =0, или наоборот. 

Задача 14.

Укажите такой многочлен f (x), для которого числа - 1, 2, 3, 5 являются корнями.

Решение. 

f (x) = (x+1) (x-2) (x-3) (x-5). 

Задача 15.

Укажите такой многочлен f (x), который при x=1, 2, 3, 4, 5 принимает значение, равное 7.

Решение. 

f (x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) +7. 

Задача 16.

Найдите f (g (x)), g (f (x)) и f (f (x)), если f (x) =2x-1, а g (x) =x³+2x+3.

Решение. 

f (g (x)) =2 (x³+2x+3) - 1; g (f (x)) = (2x-1) ³+2 (2x-1) +3; f (f (x) =2 (2x-1) - 1. 

Задача 17.

Докажите, что cos 20⁰ является иррациональным числом.

Решение.

Воспользуемся известной формулой cos3б=4cos³б-3cosб. Отсюда cos60⁰=4cos³20⁰-3cos20⁰. Учитывая, что cos60⁰=0.5 и проводя несложные преобразования, получаем 8cos³20⁰-6cos20⁰-1=0. Следовательно, cos20⁰ является корнем многочлена f (x) =8x³-6x-1. Если же мы будем искать рациональные корни этого многочлена, то убедимся, что их нет. Значит, корень cos20⁰ не является рациональным числом, т.е. cos20⁰ - число иррациональное. 

Задача 18.

Докажите, что уравнение x⁴-3x³y=y⁴ не имеет решений в целых числах, отличных от нуля.

Решение.

Допустим, что уравнение имеет решение  в целых числах x=a, y=b, отличных от нуля, т.е. a⁴-3a³b=b⁴. Так как b≠0, то разделим обе части полученного равенства на b⁴. Тогда (a/b) ⁴-3 (a/b) - 1=0. Таким образом, a/b - рациональный корень многочлена f (t) =t⁴-3t³-1. Но, как легко убедиться, f (t) рациональных корней не имеет. Получили противоречие, а значит, наше допущение неверно.

 

Заключение

 

Я изучила  теорию о многочленах. В ней специально был подобран интересный материал, который не встречается в школьном курсе, а если и встречается, то менее  ярко преподносится. В эту курсовую работу было внесено много примеров и задач, включая олимпиадные, которые помогают лучше понять данный материал.

Важно не научить, а увлечь предметом школьника. Если это удастся, то ребенок сам  будет изучать те аспекты предмета, которые не предусмотрены школьным курсом.

Думаю, данная работа может послужить методическим пособием для проведения краткого факультатива, но нужно учитывать, что единой системы  преподавания этой темы на сегодняшний  день нет.

 

Список литературы 

1. В.В. Деменчук "Многочлены и микроколькулятор". Минск, "Высшая школа", 1988г.
2. А.И. Кострикин "Введение в алгебру". Москва, "Физматлит", 2001г.
3. А.Г. Курош "Курс высшей алгебры". Санкт-Петербург, "Лань", 2003г.
4. А.А. Прокофьев, И.Б. Кожухов "Универсальный справочник по математике школьникам и абитуриентам ". Москва, "Лист Нью", 2003г.
5. "Сборник задач московских математических олимпиад". Москва, "Просвещение", 1965г.