1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1.1. Множество. Основные операции над множествами. Математическая символика

  Понятие множества является одним из основных первичных понятий математики. Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов произвольной природы. Множества обозначают обычно заглавными буквами A, B, C, D, … латинского алфавита, а элементы множества – соответствующими прописными буквами - a, b, c, d, … . Задаются множества перечислением элементов или с помощью свойства, которым все элементы данного множества обладают. В последнем случае означенное свойство называют характеристическим свойством множества.

      Для удобства и полноты вводится в рассмотрение пустое множество . Пустое множество не содержит элементов. Ясно, что содержится в любом множестве.

      Часто применяемые математические обозначения. 

 
 
 

Основные операции над множествами 

1. Объединение множеств.

   Определение 1. Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множеств A и B: 

A

B = {c: c A либо c B}.

 
 

2. Пересечение множеств.

      Определение 2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B: 

A

B = {c: c A и c B}.

 

3. Разность  множеств.

      Определение 3. Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множества A, не содержащихся во множестве B: 

A\B = {c: c

A, но c B}.

Здесь символ читается как “не принадлежит”.

 
 

1.2. Функция. Понятия обратной функции и сложной функции 

      Понятие функции является одним из фундаментальных  понятий математического анализа.

      Пусть  X и Y – непустые множества элементов произвольной природы.

      Определение. Соответствие, при котором каждому элементу x из X отвечает единственный элемент y из Y называется функцией, заданной  на множестве X со значениями на множестве Y, или отображением множества X на множество Y.

 

 

      Функцию обозначают обычно буквой латинского алфавита, например, буквой . Пишут

y =

(x), x X,

или

: X Y,

или

X

Y.

      Элемент х X называют независимой переменной, или аргументом, а соответствующий элемент y Y – зависимой переменной. Множество X называется областью определения функции, множество

Y_f ={y Y: x X ( = y)}

т.е. множество  всех тех y, каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному x, называется множеством значений функции. Очевидно

Y_f

Y.

      Если  при  выполняется неравенство , то функция   определяет взаимно однозначное соответствие X в Y.

      Если  : X Y, E – подмножество множества X, то функция f_E: E Y называется сужением функции f на множество E.

Обратная  функция

      Пусть : X Y и для любого y из Y_f найдется единственный x из X, такой, что = . Тогда существует обратная функция

      

^–1: Y_f X.

       

 

      Пример. Рассмотрим функцию на полупрямой X={x: x 0}. Множество значений Y_f = { : 0}, т.е. здесьY=X. Выберем произвольно . Ему отвечает единственный = , такой, что = . Действительно,

      

= ( ) = ( )² = .

      Таким образом, обратная функция здесь

      

. 

      Сложная функция

      Пусть и . Тогда сложная функция , определенная на множестве , ставящая в соответствие каждому точку называется композицией (суперпозицией, сложной функцией) функций и , и обозначается . Таким образом,

      

      

 

1.3. Действительные числа 

      Множество действительных чисел будем обозначать . Любое его подмножество называется числовым множеством. На множестве действительных чисел определены операции сложения и умножения:

• каждой паре действительных чисел и ставится в соответствие действительное число, называемое суммой и обозначаемое ,
• каждой паре действительных чисел и ставится в соответствие действительное число, называемое произведением и обозначаемое . Символ в дальнейшем будет, как правило, опускаться.

 

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

А. Операция сложения.

А1.

А2. 

А3.  Существует такое действительное число, называемое нулем и обозначаемое , что .

А4.  Для любого действительного числа найдется такое действительное число , что . Число называют противоположным числом к числу и обозначают . Число называют разностью чисел и . При этом пишут . Тем самым определена операция вычитания. 

B. Операция умножения.

B1.

B2.

B3. Существует действительное число, называемое единицей и обозначаемое 1, что .

B4. Для любого действительного числа существует действительное число , что . Число называется обратным числом к числу и обозначается . Число называют отношением (частным) чисел и . Тем самым определена операция деления. 

С. Связь операций сложения и умножения.

     

D. Упорядоченность.

   На множестве действительных чисел определено отношение порядка. Для любых двух действительных чисел имеет место одно из двух соотношений:

      либо  (“ меньше ”), или, что то же самое, (“ больше ”),

      либо  , или, что то же самое, .

При этом выполняются следующие условия:

D1. Если и , то .

D2. Если , то .

D3. Если и , то .

      Соотношения порядка называют также сравнением действительных чисел по величине, или неравенствами. Запись означает, что либо , либо .

      Из  свойств D2 - D3 следует важное свойство множества действительных чисел, называемое плотностью действительных чисел: для любых двух различных действительных чисел и , ,найдется такое третье число , что . 

E. Непрерывность множества действительных чисел.

      Для любых числовых множеств и таких, что любая пара чисел и стеснена неравенством , существует такое число , что . 

          Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел 

Важные  подмножества действительных чисел 

    1. Числа 1,2,3,… называются натуральными числами. Множество натуральных чисел будем обозначать .  

    2. Множество называется множеством целых чисел. Очевидно,

    3. Множество называется множеством рациональных чисел. Очевидно, .

    4. Множество – дополнение множества рациональных чисел до множества действительных чисел, называется множеством иррациональных чисел.

      5. Пусть и – два действительных числа, . Выделяют следующие типы числовых множеств, называемые числовыми промежутками:

        – отрезок,

        – интервал,

        – полуинтервалы. 

     Определение. Числовое множество называют ограниченным сверху, если существует такое число , что для всех имеет место неравенство . Число называют в этом случае числом, ограничивающим сверху множество .

      Пример. Промежуток  является примером ограниченного сверху множества. В качестве числа , ограничивающего сверху это множество, может быть выбрано любое неотрицательное число. 

      Определение. Числовое множество называют ограниченным снизу, если существует такое число , что для всех имеет место неравенство . Число называют в этом случае числом, ограничивающим снизу множество .

      Пример. Промежуток  является примером ограниченного снизу множества. В качестве числа , ограничивающего снизу это множество, может быть выбрано любое неположительное число.