Множество. Основные операции над множествами. Математическая символика

      Определение. Числовое множество называют ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

      Пример 1. Интервал  является ограниченным множеством, поскольку он   ограничен сверху и снизу. Действительно, в качестве числа , ограничивающего снизу это множество может быть выбрано, например,  число , а в качестве числа, ограничивающего множество сверху, выступает, например, число .

      Пример 2. Промежуток  является ограниченным снизу и неограниченным сверху числовым множеством. Промежуток  является примером ограниченного сверху, но неограниченного снизу числового множества.

      Определение 1. Если числовое множество ограничено сверху, то наименьшее из чисел, ограничивающих сверху множество ,  называют его верхней гранью и обозначают

, или 

(от  латинского слова  supremum – наибольший).

      Определение 2. Если числовое множество ограничено снизу, то наибольшее из чисел, ограничивающих снизу множество,  называют его нижней гранью и обозначают

, или 

(от  латинского слова infinum – наименьший).

      Приведенные выше содержательные определения верхней  и нижней граней числовых множеств могут быть переформулированы и  даны в строгой математической форме.

  Определение 1*. Число называется верхней гранью числового множества , если

1. для любого выполняется неравенство ;
2. для любого числа существует число , что .

      Определение 2*. Число называется нижней гранью числового множества , если

1. для любого выполняется неравенство ;
2. для любого числа существует число , что .

      Пример  1. Рассмотрим множество . Оно является ограниченным. Не трудно убедиться, что среди всех чисел, ограничивающих сверху это множество, наименьшим является число 2, а из всех чисел, ограничивающих множество снизу, наибольшим является число –1. Таким образом,

. 

      Заметим, что если точная грань множества  достигается на этом множестве, т.е  принадлежит рассматриваемому множеству, то вместо и пишут и соответственно.

      Пример  2. Рассмотрим полуинтервал [0,4). Не трудно видеть, что , причем здесь , , т.е. нижняя грань принадлежит множеству, а верхняя грань ему не принадлежит. В этом случае мы вправе написать . 

1.4. Комплексные числа 

      Понятие комплексного числа

      Рассмотрим  выражения вида

,

где и – действительные числа, – особое число, называемое мнимой единицей. По определению

.

Указанные элементы будем называть комлексными  числами. У комплексного числа выделяют

• – действительную часть, пишут ,
• – мнимую часть, пишут .

      Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части.

      Множество комплексных чисел будем обозначать в дальнейшем . 

Арифметические  операции

      Арифметические  операции над комплексными числами  определяются через операции над  действительными числами.

   Пусть , .

1. Сложение.

2. Умножение.

3. Вычитание.

Вычитание определяется как действие, обратное к сложению:

, если .

4. Деление.

Деление определяется как действие, обратное к умножению:

, если  . 

      Векторная интерпретация комплексных чисел.

      Модуль и аргумент комлексного числа

      Каждому комплексному числу  соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , и, наоборот, любой упорядоченной паре действительных чисел отвечает вполне определенное комплексное число . Упорядоченные пары действительных чисел находятся во взаимно одназначном соответствии с точками (или векторами) на плоскости, на которой задана система координат. В результате комплексное число можно рассматривать как вектор на плоскости с координатами .

      

      Координатная  плоскость, векторы  которой интерпретируются как комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ее ось – действительной осью, а ось – мнимой осью.

      Длина вектора называется модулем комплексного числа.

      Если  -угол между ненулевым вектором и действительной осью, то всякий угол вида , где – целое число, и угол только такого вида, также будет углом, образованным вектором с действительной осью. Множество всех таких углов называется аргументом комплексного числа :

      

.

      Действительная  и мнимая части комплексного числа  выражаются через его модуль и значение аргумента:

.

      Тогда

.

      Правая  часть равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа. 

      Операции  с комплексными числами, записанными  в тригонометрической форме

      Тригонометрическая  форма записи комплексных чисел  удобна при перемножении чисел, возведении их в натуральную степень, при извлечении корня.

      Если 

,  ,

то произведение комплексных чисел

      Таким образом, при умножении комплексных  чисел модули перемножаются, а аргументы складываются:

,

.

      Следует обратить внимание на то, что второе равенство является равенством двух множеств.

      Применив  последовательно формулу умножения  двух чисел к произведению чисел, получим

.

Эта формула  называется формулой Муавра. 
 
 

Извлечение корня из комплексного числа

      Если  – натуральное число, – комплексное число, то корнем n-ой степени из комплексного числа называется всякое такое число , что

.

Если  , то числа и являются значениями корня 2-ой степени из –1.

      Следовательно, корень из комплексного числа определяется неоднозначно.

      Корень имеет ровно значений, вычисляемых по формуле

. 

      Сопряженные комплексные числа

      Для каждого комплексного числа  число называется ему сопряженным числом. Геометрически вектор симметричен вектору относительно действительной оси.

      Перечислим  основные свойства сопряженных чисел.

1.5. Элементарные функции 

Понятие элементарной функции 

      Определение. Функции:

1. линейная ( – постоянная),
2. степеная
3. показательная ,
4. логарифмическая ,
5. тригонометрические ,
6. обратные тригонометрические ,

называются  основными элементарными  функциями.

      Всякая  функция, которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций (сложение, умножений, вычитание, деление)  и конечного числа композиций над основными элементарными функциями, называется элементарной функцией.

      В множестве элементарных функций  обычно выделяют следующие важные классы .

1. Многочлены (полиномы) – функции вида

.

Здесь – постоянные (в общем случае, комплексные) числа, называемые  коэффициентами  многочлена, – натуральное число. Если , то называется степенью многочлена.

      Многочлены  действительного переменного  определены на всей числовой прямой.

2. Алгебраические рациональные функции – функции , представимые в виде

,

где – многочлены, многочлен не равен тождественно нулю. Рациональные функции определены всюду, кроме тех точек, в которых многочлен, стоящий в знаменателе,  равен нулю.

      3. Алгебраические иррациональные функции – функции, не являющиеся рациональными и представимые в виде композиции конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий.

      Функция

является  иррациональной, поскольку представима  в виде композиции  степенной  функции

с показателем  ½ и многочлена

.

      4. Трансцендентные функции – элементарные функции, не являющиеся алгебраическими.

      К трансцендентным функциям относят, например, функции

. 

Многочлены. Разложение многочленов на множители 

      1. Рассмотрим многочлен

-ой степени. Здесь  – комплексное переменное, т.е. переменое, которому придаются значения из множества комлексных чисел , коэффициенты – комплексные числа.