Министерство  образования и науки РФ

ФГОУ  СПО «КАМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВТОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» 
 
 

Специальность: Программирование в компьютерных системах 

 Шифр:   РК.230115.4464.00.00.00                          
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине «Математические методы» 

   на  тему «Модели линейного программирования. Задача планирования производства» 
 
 
 
 
 
 
 

Руководитель        ____________   Ганиева Ч.К.                                 

Студент гр.412К  ____________  Линёва И.И. 
 

   
 
 
 

2011

 

 
СОДЕРЖАНИЕ

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ

    Развитие  современного общества характеризуется  повышением технического уровня, усложнением  организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства.

    Одним из необходимых условий дальнейшего  развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует развитие таких разделов математики, как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен достаточный опыт постановки и решения экономических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального планирования, которые и составляют сущность математического программирования.

    Одной из основных становится задача создания единой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе широкого применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике.

 Основной целью написания курсовой работы является всесторонний анализ применения линейного программирования для решения экономических задач. Задачами курсовой работы являются: 
 
 
 
 

    1. Описание метода линейного программирования;

    2. Оптимизация прибыли с применением метода линейного программирования;

    3. Постановка задачи и формирование экономико-математической модели;

    4. Расчет и анализ результатов оптимизации прибыли.

    Описание метода линейного программирования

    В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решений. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики.

    Линейное  программирование – это наука  о методах исследования и отыскания  наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой  наложены линейные ограничения. Таким  образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. По типу решаемых задач методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

    Особенностью  задач линейного программирования является то, что экстремума целевая  функция достигает на границе  области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области

    допустимых  значений. Отсюда — необходимость  разработки новых методов.  

    Линейное  программирование представляет собой  наиболее часто используемый метод  оптимизации. К числу задач линейного  программирования можно отнести задачи:

    1.  рационального использования сырья  и материалов;

    2.  задачи оптимального раскроя;

    3.  оптимизации производственной программы  предприятий;

    4.  оптимального размещения и концентрации  производства;

    5.  составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи);

    6.  управления производственными запасами;

    7.  и многие другие, принадлежащие  сфере оптимального планирования.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

1 МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

 

   Раздел  математических методов, в котором  рассматриваются способы решения  задач на нахождение экстремума функции  цели при ограничении области допустимых значений в форме уравнений или неравенств, называется математическим программированием. Другими словами, математическое (оптимальное) программирование рассматривает задачи планирования, распределения ограниченных ресурсов наилучшим образом, для достижения поставленных целей.

   Общая задача математического программирования имеет вид

   Определить  экстремум функции     f(x) ® extremum (max, min)

   при выполнении условий

   g_i(x) = (³, £)b_i, (i = ),

   x = (x₁, x₂,… x_j …x_n), x_j ³ 0, (j = ),

   где f(x) – целевая функция;

   g_i(x) - функция ограничения;

   b_i - действительное число, константа ограничения.

   Если  функции f(x) и g_i(x) представлены в виде линейных функций, то оптимизационная задача называется задачей линейного программирования.

   Таким образом, линейное программирование –  это область математического программирования, посвященная  теории и  методам решения  задач нахождения условного экстремума и характеризующаяся линейной зависимостью между переменными.

1.1 Примеры задач линейного программирования

1. Задача  планирования производства

   Фирма выпускает  четыре вида персональных компьютеров

   

     
 
 
 
 
 
 

         Определить, сколько  изделий и какого вида следует изготовить фирме, чтобы доход за месяц был бы максимальным. Построить экономико-математическую модель задачи.

   

   Решение. Обозначим через Х₁ – количество изделий вида a, которое

       должна выпустить фирма; 

          Х₂ – количество изделий вида b;

          Х₃ – количество изделий вида g;

          Х₄ – количество изделий вида d.

   Найдем  затраты времени на производственный процесс в цехах (они не должны превышать располагаемый фонд времени)

                       15x₁ + 12x₂ + 4,8x₃ + 3x₄ £ 480, 

                                 8,4x₁ + 4,8x₂ + 1,8x₃ + 1,2x₄ £ 252,                                    (1)

                               2,4x₁ + 1,2x₂ + 0,12x₃ + 0,06x₄ £ 90.

   Доход за месяц должен быть максимизирован:

      f(x) = 6,5x₁ + 6x₂ + 1,5x₃ + 0,75x₄ ® max                            (2)

   Выпускается только выгодная продукция (в этом случае Х_i > 0), а невыгодная не производится (тогда Х_i = 0). Отсюда условие неотрицательности переменных

   x₁ ³ 0, x₂ ³ 0, x₃ ³ 0, x₄ ³ 0.     (3)

   Выражения (1), (2) и (3) составляют экономико-математическую модель

  1.2 Общая задача линейного программирования

   Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении таких значений неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, для которых функция цели  f(x) = C₁  × x₁ + C₂  × x₂ + …+ C_n  × x_n ® extremum

   принимает экстремальное значение и которые  удовлетворяют ограничениям 

                      а₁₁  × x₁ + а₁₂  × x₂ +…+ а_1n  × x_n £ b₁,

                      а₂₁  × x₁ + а₂₂  × x₂ + … + а_2n  × x_n £ b₂,