Показательная и логарифмическая функции

ГЛАВА 6. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

6.1. Показательная функция

Функция y=a^x , где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x.

Если  a>0, то функция y=a^x определена при всех действительных значениях x, причём при а=1 имеем 1^x=1.

Если a<0, то функция y=a^x определена только при целых x (при условии, что знаменатель показателя – нечётное число).

При a=0 выражение 0^x определено при x>0.

В связи с выше изложенным, показательную функцию рассматривают при a>0 и a≠1. График показательной функции приведен на (Рис. 6.1).

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.  6.1

Основные свойства показательной  функции:

1. Область определения D(f)=R; область изменения     E(f)=(0;+∞).
2. При a>1функция монотонно возрастает:  .
3. При 0<a<1 функция монотонно убывает: .
4. Если . 5. .   6. ;

  7. .  8. .  9. .

6.2. Логарифмическая функция и её свойства

Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b, т.е. .Таким образом, если    то – обратная функция. Если перейти к общепринятым обозначениям аргумента и функции, то обратная (логарифмическая) функция будет иметь вид: y=log_ax.

Свойства логарифмической функции.

2. При a>1 функция монотонно возрастает: .При x→+∞  y→+∞;при x→0,  y→-∞. 
3. При  0<a<1 функция монотонно  убывает:

              .При x→0,  y→+∞,при x→+∞, y→-∞. 

4. .
5. .
6. .
7. – основное логарифмическое тождество.
8. , где y₁=log_ax₁, y₂=log_ax₂.

Следовательно, свойства логарифмической  функции определяются свойствами показательной  функции и график логарифмической функции получается из графика показательной функции, если поменять местами оси координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         Рис. 6.2

6.3. Логарифмирование и потенцирование

Логарифмированием называется действие, состоящее в нахождении показателя степени по данной степени и основанию степени.

Прологарифмировать выражение  означает выразить его логарифм через  логарифмы компонентов. Задача обратная логарифмированию, называется потенцированием. Пропотенцировать логарифмическое выражение означает по данной зависимости между логарифмами чисел найти зависимость между числами.

Правила логарифмирования.

При a>0,  a≠1, b>0, b≠1, x>0,  y>0 справедливы равенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ; 5. ;

6. – формула перехода к другому основанию.

В частности: а) ,   b) , где ,

е= 2,71828… (lnx– натуральный логарифм),

c) , где lgx=log₁₀x (lgx–десятичный логарифм),

d) .

Пример. Прологарифмировать по основанию a выражение   .

Решение. .

Пример. Прологарифмировать по основанию a выражение .

Решение. .

Пример. Доказать, что   .

Решение. Прологарифмируем равенство по основанию с, что даст тождество: , следовательно,  утверждение доказано.

Пример. Вычислить =А.

Решение. Перейдём в показателях степеней к основаниям 7 и 5.

, .

Тогда .  Ответ.    .

Пример. Упростить

Решение. ,

,  А = . Ответ.  10.

Пример. Найти по данному его логарифму:

.

Решение: .

Упражнения

1. Прологарифмировать по основанию а. .
2. Вычислить: ; с)log₂₄72,  если log₂₄=a;

 d) ; e)

3. Упростить:
4. Найти   по данному логарифму:

6.4 Показательные и логарифмические уравнения

Определение. Показательным называется уравнение, содержащее неизвестные только в показателе степени.

Простейшее показательное уравнение  имеет вид:  (6.1)

Укажем несколько типов показательных  уравнений, решения которых находятся  методами элементарной математики.

1. заменой f(x)=t приводится к уравнению (6.1).
2. приводится к уравнению f(x)=g(x);
3. логарифмированием приводится к виду  .
4. заменой  приводится к уравнению F(t)=0, а затем к совокупности уравнений: , где его корни.

5.  , где  A, B, C – постоянные, а f(x)– заданная функция. Заменой  t=a^f(x)  приводится к квадратному уравнению  At²+Bt+C=0  . (6.2)

6. делением, например, на b^2f(x) с последующей заменой ,  (t>0) приводится к квадратному уравнению вида (6.2).

Определение. Логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестные под знаком логарифма или в основании логарифма.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

  , где   a>0,  a≠1, b R, x>0.      (6.3)

Общего метода решения логарифмического уравнения не существует, но можно выделить несколько наиболее распространенных случаев.

1. .
2.   потенцированием приводиться к уравнению f(x)=g(x).Корни последнего уравнения будут корнями исходного уравнения, если они принадлежат области определения: f(x)>0, g(x)>0.
3. F(log_af(x))=0 заменой  log_ax=t приводится к уравнению  F(t)=0, а затем к совокупности уравнений: ; ; … где , , … его корни.
4. Уравнения с различными основаниями приводятся к уравнениям с одним основанием.
5. Показательно-логарифмические уравнения .

Уравнение называется показательно-логарифмическим, если неизвестное входит в основание  и под знак логарифма в степени.

Как правило,  показательно-логарифмические  уравнения логарифмированием приводятся к логарифмическим.

6.5. Примеры решений показательных уравнений

Пример. Найти решение показательного уравнения .

Решение.    ОДЗ: x R.

Ответ.

Пример. Найти решение показательного уравнения

. Решение. ОДЗ: х≠0. 

Ответ. x₁ = 3;   x₂ = -1/5.

Пример. Найти решение показательного уравнения 5^3-x=4^2x-1.

Решение. ОДЗ: x R. Логарифмируем обе части уравнения по одному и тому же основанию 5:

Ответ.  .

Пример. Найти решение показательного уравнения .

Решение.    ОДЗ: x R. Преобразуем  левую часть уравнения.

Ответ. x=5.

Пример. Найти решение показательно-логарифмического уравнения

Решение. ОДЗ: x > 0. Логарифмируем обе части уравнения по основанию 4. 

Сделаем замену Имеем: или .Откуда:

Ответ. =64; x₂ = 2.

Пример. Найти решение показательного уравнения .

Решение. ОДЗ: . .

Ответ. .

Пример. Найти решение показательного уравнения. .

Решение. ОДЗ: x R. Заменой 2^x=t,  t>0  приводим данное уравнение к квадратному.  .

Ответ. x=log₂10.

Пример. Найти решение показательного уравнения

Решение. ОДЗ: x R.Заметим, что Тогда уравнение примет вид

  и заменой приводится  к квадратному:              Тогда:

1) или 

2)  .

Ответ.

Пример.  Решить показательное уравнение 

Решение.   ОДЗ:x R.  замена:

Тогда    Ответ.  x=20.

Пример.  Решить показательное уравнение .

Решение. ОДЗ: .

Замена  . Имеем

.

Ответ. .

Пример. Решить показательно-степенное уравнение .

Решение. ОДЗ: .

1) Находим корни исходного уравнения  среди решений уравнения 

. Проверкой убеждаемся, что х = 0  является корнем.

2) Если 1 + x² > 1, то исходное уравнение эквивалентно уравнению

Ответ.  х₁ =0;   x₂ =4.

6.6. Примеры решений  логарифмических уравнений

Пример.  Решить уравнение  

Решение.  ОДЗ: 

Ответ. x=1.

Пример.  Решить уравнение  

Решение.  ОДЗ: 

Перейдём к основанию 4, воспользовавшись формулой перехода к другому  основанию: .

Замена log₄x=t.

3t²+9t+6+4t+2t²+3t+3t²=0    8t²+16t+6=0    4t²+8t+3=0.

Ответ. .

Пример.  Решить уравнение

Решение.  ОДЗ:  x-1>0 x>1.

, где .

Получим уравнение:  . Замена  .

Ответ.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Найдем некоторый результат. Затем выполним проверку. Поиск ОДЗ в этом случае трудоемкий.

Проверка:

Ответ. x=8.

Пример. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: . Выполним потенцирование:

 

Откуда  Ответ. х = 8.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Заменим отыскание ОДЗ проверкой полученного результата.

Проверка:

Ответ. x = 2.

Пример. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: .

Исходное уравнение представим в виде:

Убеждаемся, что x = 13 Î ОДЗ, т.к. 2¹³ > 0.

Ответ. х = 13.

Пример. Решить уравнение

.

Решение.  ОДЗ:  .

Поскольку , получим уравнение:

Ответ. x=-3

Пример.  Решить уравнение   .

Решение.  ОДЗ:  x-1>0 x>1.

Пусть log₃(x-1)=y, тогда получим уравнение:  откуда  и

Ответ.

Пример. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ:

Следовательно, действительных корней нет.

Ответ. .

Пример. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: x>0.

Ответ. x₁=100;  x₂=0,01.

6.7. Решение систем показательных и логарифмических уравнений

При решении систем показательных  и логарифмических уравнений применяются те же методы, что и при решении систем алгебраических уравнений – линейные комбинации, подстановки.

Пример. Решить систему:

Решение. ОДЗ: x-y>0 x>y.

Ответ.  x=4; y=2.

Пример. Решить систему:

Решение. ОДЗ:

Поскольку , получим систему

которая заменой  приводится к виду:

Возвращаемся к исходным переменным.

Ответ.

6.8. Решение показательных и логарифмических неравенств

Показательное неравенство   при а>1 равносильно неравенству (знак неравенства сохраняется), а при 0< а<1 равносильно неравенству (знак неравенства меняется на противоположный).