Правильные многогранники

  Министерство  общего и профессионального  образования

  Свердловской  области 

  МОУО  

  Образовательное учреждение:  
 

  Образовательная область: естественнонаучная

  Предмет: математика 
 

  Тема  исследовательского проекта:

  «Правильные многогранники» 
 

Исполнитель: 

Руководитель:  

Внешний рецензент: 
 
 

  2010 г.

                                                  
 
 
 
 

Содержание:

Введение                                                                                             3-4  

Глава 1. Элементы теории правильных многогранников                 5-10

 §  1. Определение многогранника и его элементов                           5-6

 § 2. Пять правильных многогранников                                       7-8

 § 3. Теорема Эйлера                                                                             9

Глава 2. Исследования правильных многогранников в

 период до нашей эры                                                                           10-12

Глава 3. Исследования правильных многогранников

 в  XVI – XIX вв.                                                                                    13-15

Глава 4.  Правильные многогранники в нашей жизни                           16-18

 §  1. Многогранники вокруг нас                                                       16-17  

 §  2. Правильные многогранники в искусстве                                   18

Примеры задач                                                                                     19-22

Заключение                                                                                    23-24

Приложения                                                                                           25-34      

Список  литературы                                                                          35                  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

  Есть  в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам  можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.  

  Ни  одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".  

  Гипотеза:

  если  выстроить хронологически события исследований правильных многогранников, то можно выявить основные этапы и особенности изучения Платоновых тел

  Объект  исследования:

  правильные  многогранники (Платоновы тела)

  Предмет исследования:

  основная  периодизация исследований правильных многогранников, основные составляющие исследований, их взамосвязь.

  Основная  цель данного проекта – познакомиться с понятием правильных многогранников и выявить основные особенности исследования Платоновых тел.

  Постановка  такой цели предопределила формулировку следующих задач:

1. Изучить историю открытий в области правильных многогранников
2. Определить основные этапы исследований Платоновых тел, их содержание, взаимосвязь
3. Выявить и охарактеризовать основные составляющие исследований правильных многогранников, их динамику и особенности

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1

Элементы  теории правильных многогранников 

§ 1. Определение многогранника  и его элементов 

Определение: многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Многогранники делятся на выпуклые и невыпуклые

Определение: выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости

Выпуклые многогранники, в свою очередь, делятся на неправильные и правильные

Определение: Правильный многогранник, или Платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник  называется правильным, если:

1 он  выпуклый

2 все  его грани являются равными правильными многоугольниками

3 в каждой  его вершине сходится одинаковое  число рёбер¹

Всего существует 5 правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр), доказательство этого факта я рассмотрю в следующем параграфе

Таблица 1

 

  В Таблице 1 приведены сведения о числе  граней, ребер и вершин правильных многогранников 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 2. Пять правильных многогранников 

  Ни  одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

  Каково  же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше ни меньше. Рассмотрим доказательство данного факта.²

  Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n больше либо равным шести.

  В самом деле, угол правильного n-угольника при n больше либо равным шести не меньше 120 градусов (углы между сторонами правильного многоугольника не меньше 180-360/p градусов (где p-число ребер)). С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n больше либо равным шести, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше, чем 120 * 3 = 360 градусов. Но это не возможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.³

Мы  доказали, что существует пять и  только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Евклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии⁴.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 3. Теорема Эйлера 

  Теорема Эйлера для многогранников  — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

    Рассматривая  табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел  в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2   ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

      Мы сравнивали числа внутри  одного столбца. Но можно рассмотреть  сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).

  Таблица № 2

 

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем  ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»:   Г + В = Р + 2.

Итак, получена формула, которая была подмечена  уже Декартом в 1640 году, а позднее  переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.⁵ 

Глава 2

Исследования  правильных многогранников в период до нашей  эры 

  Названия  правильных многогранников пришли из Древней Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.⁶