Прикладная математика

 
 

     В последней таблице заполняем  только одну диагональ для значения 700.

 

     Наибольшее  число на этой диагонали:

     P_max= 134 тыс руб.

     Причем  четвертому банку должно быть выделено

      тыс руб.

     На  долю остальных банков остается 600 тыс руб. Третьему банку должно быть выделено:

     

     Второму банку:

     

     Первому банку:

     

     Таким образом, наилучшим является следующее  распределение инвестиций по банкам:

     X_опт=(300; 200: 100; 100).

     Проверим  выполнение неравенства:

     f₁(x₁^*)+ f₂(x₂^*)+ f₃(x₃^*)+ f₄(x₄^*)=P_max

     63+37+18+16=134

     134=134. 

     6. Динамическая задача управления производством и запасами

     Задача  для трех месяцев (n=2). Заказ на изделия на каждый месяц имеет соответственно следующие значения d₁ = 4; d₂ = 5; d₃ = 2. В конце третьего месяца запас на изделия должен быть равен нулю, т.е. у₄=0. К началу первого месяца на складе имеются 4 изделия, т.е. у₁ = 4. Затраты на хранение единицы изделия для каждого месяца составляют соответственно h₁ = 4; h₂ = 4; h₃ = 4. Затраты на производство x_i изделий в каждом месяце Требуется определить,  сколько единиц изделий в каждом месяце нужно производить и хранить (для удовлетворения заказов на последующие месяцы), чтобы затраты на производство и хранение изделий за все три месяца были наименьшими. 

 

     Используя реккурентное отношение  при условиях ; и реккурентное отношение при условиях , последовательно вычисляем F₁(s=y₂), F₂(s=y₃), F₃=(s=y₄=0).

     Положим k=1.

       Результаты вычисления F₁(s=y₂) представлены в таблице:

     Полагая k=2, вычисляем значения функции F₂(s=y₃)

     

     Результаты  вычисления F₂(s=y₃) представлены в таблице, где каждое значение реккурентного соотношения представлено в виде суммы трех слагаемых. Кроме значений реккурентного соотношения, в таблице включены оптимальные значения x₂^*(s) изделий и оптимальные значения реккурентного соотношения F₂(s), соответствующие значению запаса s.  
 

 

     Положим k=3.

     

     

     Минимум целевой функции затрат на производство изделий и хранение их запасов за три месяца равен 105 и достигается при значении равном х₃=2 в третьем месяце.

     Найдем  это решение, последовательно продвигаясь  от последнего этапа (третьего месяца) к первому, пользуясь вычислениями реккурентных соотношений. При х₃^*=2 при значении k=3 с учетом исходных данных получаем: y₃ = 2-2=0. Для y₃^*=0 (s=0), x₂^*(s)=3. При значении k=2 получаем: y₂ = 0+5-3=2. x₁^*(s)=2, y₁=4 Оптимальный план производства и запасов имеет вид:

     x₁=2; y₁=4; x₂=3; y₂=2; x₃=2; y₃=0,

     а минимальные общие затраты составляют 105 единиц.

     Проверяем выполнение условий баланса для  каждого месяца

     x_j+y_j-d_j=y_j+1

     x₁+y₁-d₁=y₂; 2+4-4=2; 2=2

     x₂+y₂-d₂=y₃; 3+2-5=0; 0=0;

     x₃+y₃-d₃=y₄=0; 2+0-2=0; 0=0.

     Проверим  равенство φ(x₁)+ φ(x₂)+ φ(x₃)+h₁y₂+h₂y₃=F₃(y₄=0):

     24+49+24+8+0=105; 105=105.  

     7. Матричная модель  производственной  программы предприятия

     Структурная матрица производства:

     

     Матрица коэффициентов прямых затрат:

     

     Вектор  выпуска товарной продукции:

     

     Найдем  элементы обратной матрицы (матрица коэффициентов полных затрат):

     

     

     Найдем  вектор производственной программы:

     

     Найдем  матрицу Н коэффициентов полных затрат внешних ресурсов на единицу  выпуска товарной продукции каждого  вида:

     

     Найдем  вектор S полных затрат всех видов ресурсов:

       

     8. Матричная игра  как модель конкуренции  и сотрудничества

     

     Проведем  анализ на доминирование. 1-ая строка доминирует j-ую, если все элементы i-ой строки больше или равны соответствующих элементов j-ой. Так как строки выбирает Первый игрок, то мы исключаем из платежной матрицы доминируемые строки. 1-ая строка доминирует 3-ью. В результате исключения 3-ей строки получаем:

     

     Четвертый столбец доминирует первый и, так  как столбцы выбирает Второй игрок, то мы исключаем доминирующий четвертый  столбец. Получаем платежную матрицу 3х4:

     

     Приведем  анализ игры на седловую точку. Находим  минимумы по строкам α_i. Нижняя цена игры α=-1. Находим максимумы по столбцам β_j. Верхняя цена игры β=4.

     Поскольку α≠β, то решения игры в чистых стратегиях нет. Будем искать решение в смешанных  стратегиях. Предварительно прибавим к каждому элементы платежной  матрицы константу, равную 10, сделав их неотрицательными. Решение игры при этом не изменится, а цена игры возрастет на 10 и будет больше нуля.

     Матрица игры имеет следующий вид:

     

     В силу теоремы Неймана решение  игры сводится к нахождению решений  симметричной пары взаимно двойственных задач линейного программирования. Пусть Р =(р₁;р₂;р₃); Q=(q₁;q₂;q₃;q₄) – стратегии игроков. Найдем сначала Q^*.