Министерство  образования  и  науки  Российской Федерации

Воронежский государственный технический университет

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по  дисциплине  «Высшая математика»

Тема  «Расчёт электрических цепей с помощью

дифференциальных  уравнений»

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Воронеж 2011 

Введение 

     Дифференциальные  уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа  разнообразных явлений и процессов  в науке и технике. Ряд физических задач может быть сведён к решению  дифференциальных уравнений или  системы дифференциальных уравнений.

     Методы  решения дифференциальных уравнений  подразделяются на два класса:

1. аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;
2. численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

     Применение  аналитических методов позволяет  исследовать полученные решения  методами математического анализа  и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления  или процесса. К сожалению, с помощью  таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные  методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение  практически любой задачи.

     Решением  дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее – целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение – это значит найти либо его частное, либо общее решение.

     Задача  нахождения решения обыкновенного  дифференциального уравнения или  системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым  начальным условиям, называется задачей Коши.

     Объектом  исследования данной работы являются электрические цепи, а  предметом  исследования  –  расчёт электрических  цепей с помощью систем дифференциальных уравнений.

     Цель  данной курсовой работы –  научиться  производить расчёт электрических  цепей с помощью систем дифференциальных уравнений. Практическое применение расчета  электрических цепей очень важно, а потому важность рассматриваемой  темы не вызывает сомнений.

 
 
 

Расчёт  электрических цепей  с помощью систем дифференциальных уравнений 

         Целью расчёта электрической цепи является определение некоторых параметров на основе исходных данных, из условия задачи.

     Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и  решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые  разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном  для применения численных методов  интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники. Количество переменных состояния, следовательно, число уравнений  состояния равно числу независимых  накопителей энергии.

Требуемая система  уравнений может быть получена из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа. При этом целесообразно  записывать напряжения и токи на емкости  и индуктивности через переменные состояния.

     Рассмотрим  пример составления системы дифференциальных уравнений для конкретной электрической  цепи,  изображённой на рисунке 1.

       
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 1.  Схема электрической цепи. 

     В этом примере переменными состояния  являются напряжения на ёмкостях и  ток в индуктивности: и . При этом переменные состояния образуют систему из наименьшего числа переменных, полностью определяющих реакции всех ветвей цепи при заданных начальных условиях и приложенных при внешних воздействиях.

     Составим  уравнения по законам Кирхгофа:

       

     Исключив  из уравнений токи и напряжения, не связанные с переменными состояния, получим систему уравнений по методу переменных состояния, разрешенную  относительно первых производных (форма  Коши):

       

     В настоящее время централизованное производство и распределение электрической  энергии осуществляется на переменном токе.

     Переменными называют э.д.с., токи и напряжения изменяющиеся с течением времени. Они могут изменяться только по значению или только по направлению, а также по значению и направлению.

     Цепи, в которых действует переменный ток - называют цепями переменного тока.

     В электроэнергетике наибольшее применение получил переменный ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону.

     Переменные  электрические величины являются функциями  времени, их значения в любой момент времени t называют мгновенными и обозначают строчными буквами. Например, выражение мгновенного значения синусоидального тока определяется тригонометрической функцией i=I sin( t+ ), единственной переменной в правой части, которой является время t. Амплитуда I равна максимальному значению тока. Аргумент синуса ( t+ ), измеряемый в радианах, определяет фазный угол синусоидальной функции тока в любой момент времени t и называется фазой, а величина , равная фазному углу в момент начала отсчёта времени (t=0), - начальной фазой. Величина определяет число радианов, на которое изменяется фаза колебаний за секунду, и называется угловой частотой.

     Для расчета значений и направлений  токов на участках электрической  цепи при известных параметрах источников тока и напряжения применяются следующие  методы:

• метод непосредственного применения законов Кирхгофа
• метод контурных токов
• метод узловых потенциалов (метод узловых напряжений)
• метод двух узлов
• метод свертывания
• метод эквивалентного генератора
• метод наложения (суперпозиции)
• метод комплексных амплитуд
• метод сечений (напряжений ветвей дерева).

1.  Метод  контурных токов — метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь.

     Любая электрическая цепь, состоящая из Р рёбер (ветвей, участков) и У узлов, может быть описана системой уравнений в соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа. Число уравнений в такой системе равно Р, из них У–1 уравнений составляется по 1-му закону Кирхгофа для всех узлов, кроме одного; а остальные Р–У+1 уравнений – по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Поскольку независимыми переменными в цепи считаются токи рёбер, число независимых переменных равно числу уравнений, и система разрешима.

     Существует  несколько методов сократить  число уравнений в системе. Одним  из таких методов является метод  контурных токов.

     Метод использует тот факт, что не все  токи в рёбрах цепи являются независимыми. Наличие в системе У–1 уравнений  для узлов означает, что зависимы У–1 токов. Если выделить в цепи Р–У+1 независимых токов, то систему можно сократить до Р–У+1 уравнений. Метод контурных токов основан на очень простом и удобном способе выделения в цепи Р–У+1 независимых токов.

     Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом из Р–У+1 независимых  контуров схемы циркулирует некоторый  виртуальный контурный ток. Если некоторое ребро принадлежит  только одному контуру, реальный ток  в нём равен контурному. Если же ребро принадлежит нескольким контурам, ток в нём равен сумме соответствующих  контурных токов (с учётом направления  обхода контуров). Поскольку независимые  контура покрывают собой всю  схему (т.е. любое ребро принадлежит  хотя бы одному контуру), то ток в  любом ребре можно выразить через  контурные токи, и контурные токи составляют полную систему токов.

     Для построения системы уравнений необходимо выделить в цепи P – У + 1 независимых контуров. По каждому из этих контуров будет составлено одно уравнение по 2-му закону Кирхгофа. В каждом контуре необходимо выбрать направление обхода (например, по часовой стрелке).

     Ток во всех рёбрах схемы необходимо представить  как сумму (с учётом знаков) контурных  токов, которые протекают по этим рёбрам.

     При наличии в цепи источников тока, их предварительно преобразовывают  в источники напряжения.

     Правило построения уравнения таково. Обходя контур в соответствии с выбранным  направлением, записываем в левую  часть уравнений сумму (с учётом знаков) токов в рёбрах, умноженных на сопротивление ребра. В правой части уравнения записываем все  источники ЭДС, имеющиеся в контуре (со знаком «плюс», если направление  обхода контура совпадает с направлением ЭДС, и наоборот).

Составив  уравнения для всех независимых  контуров, получаем совместную систему P – У + 1 уравнений относительно P – У + 1 неизвестных контурных токов.

     2.  Метод узловых потенциалов —  метод расчета электрических  цепей путем записи системы линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи. В результате применения метода определяются потенциалы во всех узлах цепи, а также, при необходимости, токи во всех ветвях.

     Очень часто необходимым этапом при  решении самых разных задач электроники  является расчет электрической цепи. Под этим термином понимается процесс  получения полной информации о напряжениях  во всех узлах и о токах во всех ветвях заданной электрической цепи. Для расчета линейной цепи достаточно записать необходимое число уравнений, которые базируются на правилах Кирхгофа и законе Ома, а затем решить полученную систему.

     Однако  на практике записать систему уравнений  просто из вида схемы удается только для очень простых схем. Если в  схеме более десятка элементов  или она содержит участки типа мостов, то для записи системы уравнений уже требуются специальные методики. К таким методикам относятся метод узловых потенциалов и метод контурных токов.

     Метод узловых потенциалов не привносит  ничего нового к правилам Кирхгофа и закону Ома. Данный метод лишь формализует  их использование настолько, чтобы  их можно было применить к любой, сколь угодно сложной цепи. Иными  словами, метод дает ответ на вопрос «как использовать законы для расчета  данной цепи?». Методика состоит в  следующем:

1. Записывают уравнения для токов в ветвях схемы по обобщенному закону Ома.
2. Записывают для всех узлов, кроме одного, уравнения по 1 закону Кирхгофа.
3. В уравнения 1-ого закона Кирхгофа подставляют токи из уравнений обобщенного закона Ома, раскрывают скобки и проводят подобие относительно потенциалов узлов.

     Метод узловых потенциалов применяется  к эквивалентной схеме. Если изначально дана реальная схема, то для нее необходимо составить эквивалентную схему и дальнейший расчет производить с ней. Таким образом, схема, к которой применяется метод узловых потенциалов, не содержит никаких реальных элементов (транзисторов, диодов, ламп, гальванических элементов, пассивных элементов с паразитными параметрами и т.д.).