Перед началом расчёта выбирается один из узлов, потенциал которого считается равным нулю. Затем узлы нумеруются, после чего составляется система уравнений.

     Слева от знака равенства записывается потенциал заданного узла, умноженный на сумму проводимостей ветвей, примыкающих к нему, минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.

     Справа  от знака равенства записывается сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу, если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», если же он направлен от узла — то со знаком «−». Если это источник ЭДС, то он записывается как значение ЭДС, умноженное на проводимость ветвей, соединяющей их с данным узлом.

     3.  Метод непосредственного применения  законов Кирхгофа для расчета электрической цепи заключается в составлении системы из В уравнений с В неизвестными (B - количество ветвей в рассматриваемой цепи) по двум законам Кирхгофа и последующем их решении.

     Рассмотрим  расчёт электрической цепи, не содержащей источников тока. Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить (У - 1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и К = (В - У + 1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (т. е. содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам / контурам).

     Для решения составленной системы уравнений  можно воспользоваться матричной  формой   , где

     A и B — квадратные матрицы коэффициентов  при токах и ЭДС порядка  B x B;

     I и E — матрицы-столбцы неизвестных  токов и заданных ЭДС.

     Решение системы:    

      ,  где 

     — обратная матрица; Δ — определитель матрицы A; Δik — алгебраические дополнения элементов aik (см. способы нахождения обратной матрицы).

     

     — матрица собственных gii и взаимных gik проводимостей (см. метод наложения).

     

     — система уравнений, определяющих токи ветвей.

     Зачастую  при расчёте цепей подобным методом  возникает необходимость составления  большого количества уравнений и  последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются  и другие методы расчёта.

     4.  Метод двух узлов — метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем и токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы.

     Часто встречаются схемы, содержащие всего  два узла. Наиболее рациональным методом  расчета токов в них является метод двух узлов.

     Формула для расчета напряжения между  двумя узлами: 

           . 
 
 

             

 

                                                                            

Задача.

Электрическая цепь подключается к источнику с  постоянной ЭДС ,равной Е, причём до включения токи и заряды в цепи отсутствовали .Найти  токи в цепи .

Решение.

1)Схема цепи.

2)Е- постоянная ЭДС.

С-электроемкость конденсатора.

L-индуктивность катушки.

R-сопротивление резистора.

3)Т.к.  резистор и конденсатор соединены  параллельно .то ,тогда   и, с учетом закона  Киргофа для разветвленной цепи  ,тогда ,

Здесь  ток в неразветвленной части цепи  , ток ,идущий через резистор ,а ток идущий через конденсатор ,но т.к. ток через  изменяется ,то   тогда .  Т.к. , то или или (1)-это линейное дифференциальное  уравнение относительно тока через резистор вида +,где и -постоянные .Решим его путем разделения   =,+,где   ,  -а .  Окончательно решение его:

                                                                                (1’)

В нашем  случае  :

Тогда получаем из уравнения(1) с учетом решения  линейного дифференциального уравнения (1’):, т.к.

Тогда  ,окончательно:

                                                                             (2)

Тогда ток текущий  через конденсатор :, т.е.

                                                                                (3)

Рассмотрим процессы ,происходящие в левом контуре (E,C,L).После замыкания цепи по закону Ома для замкнутой цепи : или , здесь    -эдс самоиндукции цепи в катушке , –падение напряжения на резисторе или на конденсаторе

  -это тоже  линейное дифференциальное уравнение  вида ..

В общем виде: 

                                                                    (2’)

В нашем случае: 

                           (4)              

Ответ: ;. 
 
 

 

Заключение 
 

     При изучении физических явлений часто  не удается непосредственно найти  законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается  зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.

     Таким образом, большинство физических явлений  описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные  функции под знаком производной  или дифференциала.

     Для расчета значений и направлений  токов на участках электрической  цепи при известных параметрах источников тока и напряжения применяются следующие  методы: метод непосредственного применения законов Кирхгофа;  метод контурных токов;  метод узловых потенциалов (метод узловых напряжений);  метод двух узлов;  метод свертывания и другие.

     Методы  решения дифференциальных уравнений  можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К точным относятся методы, с помощью которых можно выразить решение дифференциального уравнения через элементарные функции. Приближенные методы – это методы, в которых решение получается как придел некоторой последовательности. Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы. 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы: 
 
 
 

1. Бессонов  Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1996.
2. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей. ЛАНЬ. – Москва, 2002.
3. Зевеке Г.В. и др. Основы анализа цепей. – М.: Энергоатомиздат, 1989. 5-е изд. – 528 с.
4. Корн Г., Корн Т.  Справочник по математике (для научных работников и инженеров). –  6-е изд.  – СПб.:  Изд. Лань,  2003. – 832 с.
5. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 2001.
7. Фриск В.В. Основы теории цепей. Солон-Пресс. – Москва, 2004.
8. Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов. – 7-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 542 с.