Расширение понятия числа (из истории математики)

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                        СТР.

      Введение…………………………………………………………..       3

1. Число как основное понятие математики…………………………      4
2. Натуральные числа…………………………………………………       5

1.1. Функции натуральных чисел………………………………. …       6 1.2. Простые числа Мерсенна, совершенные числа ……………..       7

3. Рациональные числа…………………………………………….. …       9
1. Дробные числа……………………………………………. …       9

3.1.1. О происхождении дробей…………………………….       9

3.1.2. Дроби в Древнем Египте ……………………………..      9

3.1.3. Дроби в Древнем Риме ……………………………..        10

3.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби………….. ..     11

3.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции……………. ..     12  

3.1.6. Нумерация и дроби на Руси…………………………       12

3.1.7. Дроби в других государствах древности…………..        13

3.1.8. Десятичные дроби……………………………………      14

     3.2.  Отрицательные числа...............................................................      16

           3.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии………………    16

           3.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе..   17

4. Действительные числа………………………………………………   17
1. Иррациональные числа………………………………………    17
2. Алгебраические и трансцендентные числа…………………   20
5. Комплексные числа…………………………………………………   20
1. Мнимые числа………………………………………………..    20
2. Геометрическое истолкование комплексных чисел………     22
6. Векторные числа……………………………………………………    23
7. Матричные числа…………………………………………………..     24
8. Трансфинитные числа……………………………………………..     24
9. Функции = функциональные числа?……………………………..  25

8.1. Развитие функциональных чисел …….……………………..       26 

Заключение………………………………………………………… 27

Литература. ………………………………………………………… 29 
 
 

      «Если бы ни число и его природа, ничто

                                                                                 существующее нельзя было бы постичь им

                                                                                 само по себе, ни в его отношениях к другим

                                                                                  вещам. Мощь чисел проявляется во всех

                                                                                 деяниях и помыслах людей, во всех ремес-         

                                                                                  лах  и в музыке»

                                                                         Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э.

Введение

 

      Число понимается и принимается (многими) античными мыслителями как первая сущность, определяющая все многообразные внутрикосмические связи мира, основанного на мере и числе, соразмерного (симметричного) и гармоничного. Каким же мыслителям свойственен такой взгляд?

      Среди греческих мыслителей прежде всего пифагорейцы, а вслед за ними и академики обращали особое внимание на роль числа в познании и конституировании мира: «Числу все вещи подобны», - утверждает Пифагор. Не следует, однако, понимать это утверждение так, как истолковывает его Аристотель, а именно, что все вещи состоят из числа, поскольку число допустимо лишь мыслить, но нельзя искать среди вещей. Как поясняет просвещенная Теано, «и многие эллины, как мне известно, думают, будто Пифагор говорил, что все рождается из числа. Но это учение вызывает недоумение: каким образом то, что даже не существует, мыслится порождающим? Между тем, он говорил, что все возникает не из числа, а согласно числу, так как в числе - первый порядок, по причастности которому и в счислимых вещах устанавливается нечто первое, второе и т. д.»

      Таким образом, число выступает как принцип познания и порождения, ибо позволяет нечто различать, мыслить как определенное, вносить предел в мир и мысль. Поэтому число - первое из сущего, чистое бытие, - как таковое оно есть нечто божественное: «…Природа числа, - говорит Филолай, - познавательна, предводительна и учительна для всех во всем  непонятном и неизвестном. В самом деле, никому не была бы ясна ни одна из вещей - ни в их отношении к самим себе, ни в их отношении к другому, если бы не было числа и его сущности». Число есть чистое идеальное бытие, первый образ безобразного Блага и первый прообраз всего существующего. Поэтому число - наиболее достоверное и истинное, первое во всей иерархии сущего, начало космоса.

Число играет первенствующую роль и в так называемом неписанном, или эзотерическом, учении Платона, незафиксированном в текстах самого Платона и дошедшем до нас лишь в реконструированном виде из отдельных свидетельств его учеников и последователей. Согласно этому учению, следы которого мы находим у Аристотеля, его ближайшего ученика Теофраста и позднеантичных неоплатоников, в основе всего лежит единица - начало тождественности, принцип формы и неопределенная двоица - принцип инаковости, или материи, которыми и порождается вся иерархия сущего - эйдосы и числа, души и геометрические объекты, физические тела. Принцип числа оказывается тем основанием, на котором покоится (более позднее) античное миросозерцание с его обостренным переживанием бытия, присутствующего в космосе, но не смешанного с ним. 

     1. Число, как основное понятие математики

     Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами

      Существует большое количество определений понятию «число».

      Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 - около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

      Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

      Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский - родоначальник греческой стихийно-материалистической философии - учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

      В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подра- зумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное - кратной частью единицы, иррациональное - число, не соизмеримое с единицей».

2. Натуральные числа

     Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

     Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

     Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

     Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

      О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

     Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

     Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка - сорок ведер и т.д.

     Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

     Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков - мириада), равное 10 000, а запределом - «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 10⁶, «легион» - 10¹², «леодр» - 10²⁴, «ворон» - 10⁴⁸, «колода» - 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует.

     В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х10¹⁶ , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах - до бесконечности ∞.

2.1. Функции натуральных чисел

Натуральные числа имеют две основные функции:

• характеристика количества предметов;
• характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

     В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

2.2.Простые Числа Мерсенна, совершенные числа. 

     Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М_р = 2^р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М₂=3, М₃=7, М₅=31, М₇=127, то это - простые числа Мерсенна. Однако, число     2)М₁₁=2047=23 ^. 89     простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М₂, М₃, М₅, М₇, М₁₃, М₁₇, М₁₉, М₃₁. То, что М₃₁ - простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка