Расширение понятия числа (из истории математики)

установил, что число

                3)М₁₂₇=170141183460469231731687303715884105727

- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М₆₁=2305843009213693951    является простым. Позднее было установлено, что числа М₈₉ и М₁₀₇ - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М₅₂₁, М₆₀₇, М₁₂₇₉, М₂₂₀₃, М₂₂₈₁, М₃₂₁₇, М₄₂₅₃, М₄₄₂₃, М₂₆₈₉, М₉₉₄₁, М₁₁₂₁₃ - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М₂₁₆₀₉₁ имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

     Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р.

     Евклид доказал, что если р и 2^р-1 - простые числа, то число        4)Р_р=2^р-1(2^р-1)=2^р-1М_р   является совершенным.

     Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются  5)1,2, ... ,2^р-1,М_р,2М_р, ... ,2^р-1М_р .

     Их сумма S_p=(1+2+ ... +2^р-1)(М_р+1)=(2^р-1) ^. 2^р=2 ^. 2^р-1 М_р. Вычитая из S само число Р_р , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Р_р равна этому числу, следовательно Р_р - совершенное число.

     Числа Р₂=6 и Р₃=28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р₅=496 и Р₇=8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

     6)Р₁₃=33550336, Р₁₇=8589869056, Р₁₉=137438691328, Р₃₁=2305843008139952128.

     Для всех остальных чисел Мерсенна числа Р_р имеют очень много цифр.

     До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р_17, Р_19, Р₃₁ являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р_17, Р₁₉ нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

     Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Р_р  начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

     7)Р₂=110, Р₃=11100, Р₅ =111110000, Р₇ =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

     Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2^{р-1 .} М_р, где М_р-простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.

3.Рациональные числа

3.1. Дробные числа

3.1.1. О происхождении дробей

     С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида ¹/_n, которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.

     Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

     В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

     Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

3.1.2. Дроби в Древнем Египте

      Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали ¹/₄, ¹/₈ …, затем ¹/₃ , ¹/₆  и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

      В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

      Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

      Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число ³/₄ , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей ½ + ¼ .

3.1.3. Дроби в Древнем Риме

     Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей - унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть ¹/₁₂,  ²/₁₂,  ³/₁₂…

     Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо ¹/₁₂   римляне говорили «одна унция», ⁵/₁₂ - «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции - третью, шесть унций - половиной.

     Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

3.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби

      Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.

      Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака ◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 60², 60³ и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак ^и_и , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

      Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:

• 1 талант = 60 мин;
• 1 мина = 60 шекель.

     Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 60² = 3600, 60³ = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

     Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.

     Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

3.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции

     В Древней Греции арифметику - учение об общих свойствах чисел - отделяли от логистики - искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции  не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

     В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям  - Аттика  и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) - пять, ΔЕКА (дека) - десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.

     Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями  и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним - числитель дроби. Например, ⁵/₃ означало три пятых и т.д.

3.1.6. Нумерация и дроби на Руси

      Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

      В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

      Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

3.1.7. Дроби в других государствах древности

     В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

     У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

     Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

     Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями: