Расширение понятия числа в школьном курсе математике

     В Европе десятичные дроби появились  благодаря инженеру Симону Стевину (1548-1620). Он объединил отдельные идеи и представления о десятичных дробях и пламенно их пропагандировал. Большой интерес матетиков вызвали периодические дроби. Они были впервые обнаружены арабским матетиком ал-Марадини в XV в. В Европе вопрос о периодических дробях был серьезно рассмотрен Валлисом в 1676 в трактате по алгебре. Вопросами периодических дробей занимались также Лейбниц, Ламберт, Эйлер, Бернулли, Гаусс и др.

  Анализ  последовательностир  расширения понятия числа в школьных учебниках. Понятие числа вводится в начальной школе, затем в курсе математики 5-6 классов и углубляется в старших классах.

      Понятие числа является стержневым, основным понятием математики и служит фундаментом, на котором строится изучение функций, тождественных преобразований, уравнений.

      Проводя в школьном курсе математики линию  развития понятия числа, учитель  придерживается принципа расширения множества  А до множества В, определенного  следующими условиями:

1. А должно быть подмножеством В.
2. Операции над элементами множества А те же, что и для элементов множества В, но смысл тех операций, которые были только во множестве А остается неизменным.

     Для того чтобы новые числа были равноправными, необходимо введение определений: понятие равенства, понятие «<», «>», т.е. установить критерии сравнения новых чисел между собой и с ранее известными понятиями суммы, понятиями произведения. Надо показать также, что новые числа подчиняются всем законам арифметических операций, установленных для изучаемых ранее чисел.

      Формирование  натурального числа начинается в начальной школе и основывается на наглядности. В 5 классе проводится систематизация и расширение сведений о натуральном числе. Изучение натуральных чисел здесь связано с формированием понятий «координатного луча», «уравнения» и «неравенства». При этом учащиеся должны твердо усвоить, что любое натуральное число может быть изображено точкой на координатном луче, но не каждой точке луча соответствует натуральное число. Выясняется такое свойство натуральных чисел как бесконечность. Особое внимание уделяется действиям над однозначными числами, многозначными числами, трудным случаям умножения и деления, действиям с 0 и 1 и в частности «закону поглощения 0».

      Знакомство  с отрицательными числами является следующим расширением понятия  числа. Их изучение очень сложно для учащихся. Впервые Рене Декарт рассматривал их самостоятельными, расположенными на оси X слева от начала координат. Он называл их сложными.

      Наибольшую  трудность в изучении отрицательных  чисел представляют обоснования  действий над ними. В учебной и методической литературе существуют два пути введения отрицательных чисел:

1. Формально логический. Он связан с внутренними потребностями математики – выполнение действия вычитания во всех случаях.
2. Реально конкретный. Он исходит из их непосредственных связей с действительностью.

      Для нового понятия отрицательного числа  надо не только дать определение, но и  сделать это новое число равноправным с ранее известными положит числами.

      В 8 классе в теме «рациональные числа» продолжается изучение положительных и отрицательных чисел, вводится понятие рационального числа, как числа, которое можно записать в виде дроби.

        А теперь рассмотрим какая последовательность изучения чисел дающиеся в учебниках математики в средних общеобразовательных школах?

      Для того, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим наиболее  известные, используемые, в школах учебники. Как мы уже заметим, подробное изучение чисел начинается с 5 класса, поэтому рассмитрим учебники математики для 5 класса

      В учебнике «Математика, 5класс» Н.Я. Виленкин изучение чисел начинается с натуральных. В этом учебнике с самого начала курса 5 класса дается определение понятия натурального числа: «Натуральные числа – это числа, применяющиеся для счета преметов» [1]. Также отмечается, что число ноль не входит в натуральный ряд чисел, т.е. не считается натуральным числом.

      А, например, в учебнике «Математика, 5 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф.Шарыгина изучение чиселначинается с краткой истории появления чисел, что способствует развитию интереса у учащихся. После чего вводится понятие натурального числа, которое анологично, по своему содержанию, к определении, дающему в учебнике  Н.Я.Виленкина. Нужно отметить, что в учебнике «Математика, 5 класс» Г.В.Дорофеева о сравнении чисел говориться в том же пункте, где и о понятии числа.

      Учебник «Математика, 5 класс» И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. Введение понятия натурального числа  вводится следующим образом: «В начальной  школе вы познакомились с записью  чисел с помощью цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. эти цифры называются арабскими. Числа, которые могут быть получены в результате счета предметов - 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., называют натуральными» [5]. Дается определение десятичной системы счисления.

      Рассмотрим  учебник «Математика, 6 класса» Н.Я.Виленкина. В данном учебнике изучение нового числа начинается с рассмотрения координатного луча, понятия координатной точки, понятия противоположных чисел. После изучения этих понятий вводится определение целого числа: «Натуральные числа, противоположные им числа и ноль называются целыми числами» [2]. И только после изучения положительных и отрицательных чисел, оперций, выполняемых над этими числами вводится понятие рационального числа: «число, которое можно записать в виде отношения , где – целое число, а – натуральное число, называют рациональным числом»[2].

      Учебник «Математика, 6 класс» И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович.  Остановимся на основных отличиях этого учебника от остальных учебников, которые используются в школе. Традиционно в учебниках 6-го класса темы «Положительные и отрицательные числа» и «Обыкновенные дроби» представлены в отдельных главах. Здесь в главу «Положительные и отрицательные числа» включается задания и с обыкновенными дробями, так как алгоритмы действия с обыкновенными дробями рассматриваются в 5-м классе учебника А.Г.Мордковича. После рассмотрения координатной прямой, определения противоположных чисел вводятся новые понятия чисел. «Натуральные числа, числа, им противоположные, и число 0 называют целыми числами. Все целые целые числа и все дроби (положительные и торцательные) называют рациональными числами. Говорят также, что все вместе они образуют множество рациональных чисел»[6].

      Из  выше сказанного можно сделать вывод  о том, что в многих учебниках математики для общеобразовательных школ дается следующая последовательность изучения чисел: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа, действительные числа.

  Историко-генетический подход. В философии под генетическим методом (греч. genesis  -  происхождение, развитие) понимают способ иследования природных и социальных явлений, а также явлений познания, основанный на анализе их развития. Исторический этот метод возник в утверждения в науке (начиная с XVII века) идеи развития – закономерного и и направленного качественного изменения материальных и идеальных объектов, а его основная цель – выявление связей изучаемых явлений ао времени: начальных условий, главных этапов и тенденций их развития.

  В работах  педагогов, математиков, методистов можно встретить близкие по звучанию и по смыслу термины: «генетический подход(или принцип) в преподавание», генетический метод обучения», «генетическое обучение» , «генетическое изложение предмета (учебного материала)».

  Генетический  подход в преподавание заключается в том, что методика обучения предмету должна опираться, по мере возможности, на естественные пути и методы познания, присуще соответствующей науке, т.е. обучение должно следовать происхождения знания. При этом ученику отводится роль не пассивного слушателя и потребителя готовых знаний, а их активного добытчика.

  Пройденный  человеком за всю историю его  существонания путь указывает направление  для обучения и развитие отдельного человека, только учение преодолевает его с помощью учителя всего за несколько лет. При этом не следует вести его к цели «с закрытыми глазами»: он должен сам открыть истину, а не не воспринимать ее как готовый результат. Задача учителя состоит в том, что бы руковадить этой экспедицией открытий, а не быть простым зрителем. Как справедливо заметил А.Дистерверг, плохой учитель преподносит истину в готовом виде, а хороший учит ее находить.

  Так, например, излагая какой-нибудь раздел науки (или теорию), мы должны дать возможность  ребенку проследить важнейшие ступени умственной эволюции человечества. Конечно, при этом не  следует позволять ему повторять ту тысячу ошибок, которые были сделаны человечеством в прошлом.

     Новые воззрения в математическом анализе  не приживались гладко. Жестко критиковал учение Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно уверенно сравнить с травлей. Но время доказало правильность выбранного курса. Привычный нам вид математического здания во многом был построен благодаря таким ученным как Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд.

     Таким образом, число - важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности.

     Основываясь на историко-генетическом подходе, развитие понятия числа целесообразно рассматривать следующей последовательности:

1. Натуральные числа;
2. Целые числа;
3. Рациональные числа;
4. Иррациональные числа;
5. Действительные числа.

     Анализируя  учебники и учебные пособия по метиматике можно сказать, что последовательность изучения чисел в общеобразовательных школах соответствует историко генетическому подходу.

Заключение.

1. Провели исторический анализ развития понятия числа;
2. Выполнили анализ учебников и учебных пособии по математике по теме исследования;
3. Рассмотренна сущность историко-гененического подхода;
4. Сделан вывод о соответствие последовательности изучения чисел в общеобразовательных школах историко-генетического подхода.

  Список  используемой литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений.- 8-е изд. – М.: Мнемозина, 2000.
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений.- 9-е изд. – М.: Мнемозина, 2001.
3. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. и др. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений.- 6-е изд. – М.: Просвещение: Дрофа, 2003.
4. З.А. Зорина, И.И. Полетаева. Элементарное мышление.
5. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – 9-е изд. – М.: Мнемозина, 2009.
6. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – 8-е изд. – М.: Мнемозина, 2009.
7. И.Я. Депман. История арифметики. M.:Просвещение, 1965.
8. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, под ред. А.П. Юшкевича. М.:Наука, 1970.
9. К.А. Рыбников. История математики. Т.1. изд. МГУ, 1960.
10. Э.Кольман. История математики в древности. М.: Физматгиз, 1961.

Приложение 1

  Расширение  понятия числа  в школьном курсе  математике.

  Сахипярова  Р.М., Слепцова Ю.М.

  Научный руководитель – ст. преподаватель Галлямова Э.Х.

  Г.Набережные Челны.

  В основе математики лежит понятие числа, одно из самых ранних и самых абстрактных.

     Число является одним из основных понятий  математики. Понятие числа развивалось  в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.