Различные способы построения теории показательной и логарифмической функции

Определение. Сумма степенного ряда

                                                              (1)

называется показательной  функцией комплексной переменной z и обозначается  .

Так как степенной  ряд (1) абсолютно сходится при любом  z (это проверяется так же, как и для вещественных степенных рядов применением признака абсолютной сходимости Даламбера), то показательная функция комплексной переменной определена формулой

                                                                                (2) 

на всей комплексной  плоскости.

Если комплексная  переменная z будет, в частности, принимать только вещественные значения, то ряд (2)  обратится в вещественный степенной ряд

                                                                          (3)  

Мы получаем                                                               (4) 

Когда независимая  переменная  z  принимает вещественные значения, комплексная показательная функция , определенная формулой (2) как сумма степенного ряда, совпадает в силу равенства (4) с вещественной показательной функцией, известной из курса элементарной алгебры:  при вещественных  x. 
 
 

Свойства  показательной функции:

Показательная функция на комплексной плоскости  обладает целым рядом свойств, аналогичных  тем, которыми обладает вещественная показательная  функция на числовой оси, но имеет  также и новые свойства. Рассмотрим основные свойства показательной функции комплексной переменной.

1. Для любых двух значений и независимой переменной z справедливо равенство

.                                                          (5)

Это свойство хорошо известно, когда  и вещественные. При доказательстве равенства (5) для комплексных и следует исходить из определения (1):

=

= .

Так как ряды абсолютно сходятся, то по известному свойству абсолютно сходящихся рядов  их можно перемножать по правилу  перемножения многочленов и группировать полученные при перемножении члены произвольным способом,  в частности так, как это сделано выше.

Из (5) вытекает, что  , . Действительно, полагая в равенстве (5) , получаем: , откуда . Теперь уже можно написать: .

2. Показательная функция регулярна на всей комплексной плоскости.

Отделим вещественную и мнимую части у  . Для этого положим  . Тогда по первому свойству имеем:

                                                                 (6)

Из  получаем:

,                                                                               (7)

где и - вещественные тригонометрические функции вещественной переменной y. Подставляя полученное выражение для в равенство (6), получаем:

.                                                                               (8) 

Таким образом, получена запись показательной функции  в виде , где и - вещественные функции двух вещественных переменных:

, .                                                                    (9)        

Теперь проверим выполнение условий Коши – Римана.

 Найдем частные производные этих функций по x и по y:

, , , .

Они, действительно, удовлетворяют на всей плоскости  условиям Коши – Римана. Следовательно, функция регулярна на всей комплексной плоскости.

Правило дифференцирования  показательной функции комплексной  переменной совпадает с правилом дифференцирования вещественной показательной  функции: .

3. Показательная функция нигде на комплексной плоскости не принимает значения, равного нулю.

Из (8) следует, что  , а, как известно, значения вещественной показательной функции всегда строго положительны при любом x. Следовательно, и .

4. Если таким образом, что , то ; если же так, что  , то .

Это следует  из приведенной выше формулы  .

5. Показательная функция периодическая и её периодом является чисто мнимое число .

Действительно, в силу первого свойства получаем, используя формулу Эйлера :

.

Это свойство новое  по сравнению с известными свойствами вещественной показательной функции. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 2.

Логарифмическая функция.

§1.Логарифмы и логарифмическая функция.

Определение логарифма. Для различных целей оказывается полезным представлять числа в виде степеней одного и того же основания a. Это возможно благодаря доказанному выше свойству 7) показательной функции: если a > 0 и a , то функция принимает все положительные значения. Таким образом, любое число b > 0 может быть представлено в виде степени  . Поскольку функция  при a монотонна, то из следует, что . Поэтому показатель , для которого , однозначно определен. Этот показатель называется логарифмом числа b при основании a и обозначается . Таким образом, равенства и равносильны.

Логарифмом числа  b при основании a называется показатель степени , в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b:

                                                     .                                                   (1)

Отметим еще  раз, что в качестве основания  логарифмов может быть выбрано любое  положительное число, отличное от единицы.

Равенство (1), выражающее определение логарифма, можно записать в виде:

                                    .                                                                  (2)

Эту формулу  называют часто основным тождеством теории логарифмов.

Логарифмы по основанию  e называют натуральными логарифмами и обозначают (1 - логарифм, n - натуральный ). Таким образом, .

Логарифмы по основанию 10 называют десятичными и обозначают : . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2.Логарифмическая функция. 

При данном основании  a логарифм числа зависит от этого числа. Рассмотрим эту зависимость подробнее.

Функция , где a – данное положительное число, не равное 1, называется логарифмической функцией.

К логарифмической  функции можно свести все те зависимости, которые сводятся к показательной функции. Причина этого непосредственно видна из определения логарифма: равенство  можно записать в виде ; поэтому если одна из величин есть показательная функция другой, то вторая величина есть логарифмическая функция первой. Таким образом, логарифмическая функция есть функция, обратная показательной (и наоборот). Это  означает, что показательная функция и логарифмическая функции описывают одни и те же реальные явления. Рассматривая каждое такое явление, мы придем к показательной или к логарифмической функции, смотря по тому, какую из участвующих в нем переменных величин будем считать независимой, а какую – зависимой.

Так как функции  и обратны друг к другу, то график логарифмической функции симметричен относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов графику показательной функции с тем же основанием.

Поэтому, зная вид  графика показательной функции, легко построить график логарифмической функции.  
 
 

§3.Свойства логарифмической функции. 

Так как логарифмическая  функция обратна показательной, то ее свойства вытекают из свойств показательной функции. Сформулируем эти свойства для случая a > 1.

1. Функция определена при x >0;  нуль и отрицательные числа не имеют логарифмов.

Свойство 1) вытекает из того, что все значения показательной  функции  положительны: .

2. Областью значений функции является вся числовая ось.

Свойство 2) вытекает из того, что показательная функция  определена на всей числовой оси.

3. Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: .

Свойство 3) вытекает из того, что  .

4. Функция (a > 1) возрастает.

В самом деле, при a > 1 функция возрастает. Поэтому если , то , и обратно, если , то . Но это и означает, что если , то , а поэтому логарифмическая функция возрастает.

Из свойства 4) вытекает, в частности, что если a > 1, то при x > 1 имеем , а при 0 < x < 1 имеем . Иными словами, при a > 1 логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны.

5. Имеет место равенство .

Это вытекает из того, что  .

6. Имеет место равенство .

Это вытекает из того, что .

При 0 < a < 1 сформулированные выше свойства 1), 2) и 3) логарифмической функции остаются справедливыми. Последующие же свойства логарифмической функции в этом случае будут иными:

    ) Функция ( 0 < a < 1) убывает.

Отсюда следует, в частности, что если 0 < a < 1, то при x > 1 имеем , а при 0 < x < 1 имеем .

   ) .

) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4.Логарифмы и алгебраические операции. 

Дальнейшие свойства логарифмической функции позволяют  выразить логарифмы произведения, частного, степени через логарифмы компонент действий.

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:

                                 (3)

В самом деле, пусть a – положительное основание, b и c – любые положительные числа. Обозначим через , а - через , тогда и . В силу свойства показательной функции имеем: