Развитие понятия числа

      Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного ал-Каши в 20-х годах XV в. Независимо от него, в 80-х годах XVI в. десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Симоном Стевином.

      В Средней Азии и в Европе ученые пришли к десятичным дробям по аналогии с шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей.

      В середине века ученые пользовались десятичной нумерацией для вычислений с целыми числами, а шестидесятеричной – для вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания к другому.

      Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще считались самым трудным разделом арифметики. Поныне у немцев осталась поговорка «Попал в дроби», т.е. попал в трудное положение.

      Идея  шестидесятеричных дробей, идея одинакового  систематического подразделения целого на одни и те же доли, с одной стороны, привели к мысли о десятичных дробях.

      Среднеазиатский город Самарканд был в XV в. большим культурным центром. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в 20-х годах XV в. крупный ученый того времени – Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях.

      В своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г., ал-Каши пишет: «Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются 60 и его последовательные степени… По аналогии мы ввели дроби, в которых последовательными знаменателями являются 10 и его последовательные степени…».

      Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами», тысячные – «десятичными терциями»  и т.д. Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации. Вводя  десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и удобную систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби.

      Ал-Каши излагает правила и приводит примеры  действий с десятичными дробями. Оно вводит специфическую для  десятичных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую¹, а пишет целую часть черными чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.

      Открытие  десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI в. заново открыты С. Стевиным².

      Фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548-1620), около 150 лет после ал-Каши, изложил учение о десятичных дробях в Европе. В 1585 г. он написал небольшую книгу под названием «Десятая».

      Эта книга состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию десятичных дробей.

      Запись  десятинных дробей у Стевина была отличной от нашей. Вот,например, как  он записывал число 35,912: 

      35 0 9 1 1 2 2 3 или 

      Итак, вместо запятой нуль в кружке. В  других кружках или над цифрами  указывается десятичный разряд: 1 –  десятые, 2 – сотые и т.д.

      Стевик  указывал на большое практическое значение десятичных дробей и настойчиво пропагандировал их. Он был первым ученым, потребовавшим введения десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.

      Дробь общего вида. Дроби общего вида , в которых и m, и n могут быть произвольными целыми числами, появляются уже в некоторых сочинениях Архимеда. Простейшие из таких дробей (2/3, 3/4) постепенно входят в употребление в житейской практике. Индусы уже в первые века нашего летосчисления установили современные правила действий над обыкновенными дробями. Эти правила через руководство среднеазиатских математиков – ал-Хорезми и других – вошли в европейские учебники арифметики. Это случилось ранее распространения десятичных дробей.

      В «Арифметики» (1703) первого русского педагога-математика Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) обыкновенные дроби излагаются подробно, десятичные же дроби – в специальной главе, как некоторый новый вид счисления, не имевшего при тогдашней системе мер большого практического значения. Только с введением метрической (десятичной) системы мер десятыми дроби заняли подобающее место в нашем обиходе.

2.3. Рациональные числа

      Числа целые, дробны (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, к-ое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таком образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

      Совокупность  рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т.н. иррациональных чисел.

2.4. Связь натуральных чисел с другими математическими понятиями

      Натуральное число является фундаментальным  понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа — исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин3.

      Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число— основа всего последующего усвоения математики в школе4.

      Однако  есть основания полагать, что эти  положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности, проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

      С этой целью обратимся к книге  Е.Г. Гонина «Теоретическая арифметика» [15], примечательной тем, что значительная ее часть посвящена изложению основных общематематических понятий, на основе которых затем раскрываются свойства числовых систем (предмета теоретической арифметики).

      Исходными понятиями выступают здесь множество, элемент множества, подмножество, обладающие определенными свойствами и связями. Существуют некоторые простые способы получения новых множеств из данных (соединение, пересечение, разность). Особая символика фиксирует эти способы и их свойства (например, соединение — A U В; пересечение — А П В; разность — А \ В). Важное значение имеет понятие соответствия между элементами множеств. Соответствие между элементами множеств А и В определяет отображение множества А в множество В, фиксируемое, например, буквой / (иногда вместо отображения говорят о функции, а также об унитарной операции). Вводятся особые условия выполнимости и однозначности отображения (частный случай последнего — взаимно однозначное отображение). Если существует взаимно однозначное отображение А в В, то множество А называется эквивалентным множеству В. С введением понятий эквивалентности и правильной части Множества становятся возможными определения бесконечного и конечного множеств (множество, эквивалентное некоторой своей правильной части, называется бесконечным).

      Понятию соответствия родственно понятие соотношения, определенного на множестве. Соотношения  обладают такими основными свойствами, как рефлексивность (нерефлексивность, иррефлексивность), симметричность, транзитивность, связность. Обобщением понятия эквивалентности множеств является понятие изоморфизма. Каждое множество обладает таким свойством, как мощность (эквивалентные множества имеют одну и ту же мощность, неэквивалентные — различные мощности). Создание системы натуральных чисел связано с необходимостью описания этого важного свойства множеств.

      Наряду  с соотношением эквивалентности  в математике важную роль играет соотношение  порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение), через которое определяется понятие упорядоченного множества. С введением понятий сечения, граничного элемента, скачка, пробела и других определяют непрерывное и дискретное упорядоченное множество.

      Важнейшим понятием математики, далее, является понятие скалярной, аддитивной, аддитивно-скалярной  величины. Частным случаем скалярной величины является мощность множества.

      Понятия о бинарной операции и определенных ее свойствах (выполнимость, однозначность, ассоциативность), об обратных операциях  позволяют выделить особые виды множеств — полугруппы и группы. Множество  со связанными операциями сложения и умножения при определенных условиях является кольцом. Частный случай кольца — тело (при операции деления). Особый вид тела — поле 115, стр. 7—96]5.

      Числовые  системы определяются на основе указанной  цепи понятий. Так, «системой неотрицательных целых чисел называется дискретное точное упорядоченное коммутативное полукольцо с единичным элементом, не являющимся нулевым» [15, стр. 97]; «системой неотрицательных рациональных чисел называется минимальное точное упорядоченное полуполе» [15, стр. 131] и т.д.

      Рассмотрение  этого перечня понятий позволяет  выделить ряд моментов. Прежде всего  понятие о числе связано со многими предваряющими его понятиями, в частности с понятиями «множество», «отображение» (функции, операции), «эквивалентность», «мощность». Оно является описанием хотя и весьма важного, но все же лишь частного свойства множеств — их мощности. Таким образом, число в общей конструкции современных математических понятий не является первичным и основным. Важнейшие понятия (множество, величина, группа, кольцо) вводятся до числа и независимо от него. Свойства же самих числовых систем раскрываются на основе других общематематических понятий.

      Таково  фактическое соотношение понятия  числа с другими математическими  понятиями. Поэтому не совсем ясны основания некоторых категорических утверждений, будто понятие числа первично, и математика не содержит его определения6. Если при этом имеется в виду отсутствие удовлетворительного определения, то само по себе это не является основанием для утверждения «первичности» числа. Если имеется в виду трудность (или даже невозможность) его определения в пределах арифметики, то это не исключает возможности полноценного определения в пределах всей математики. Если предполагается, что в развитой, готовой теории число вводится (описывается) через систему аксиом, то это не означает отсутствия более широких оснований у самих аксиом — либо в области математики, либо в других областях знания (например, такие основания усматриваются в логике [16]).

      Следует иметь в виду, что термин «определение» не является однозначным. Часто его употребляют в формально-логическом смысле, и тогда невозможность построения такого определения отождествляют с «первичностью» соответствующего объекта, с его «невыводимостью». Однако в настоящее время существуют теории определения, не совпадающие с традиционным формально-логическим подходом к нему (см., например, работы Б.М. Кедрова [24] и др.).

      Отметим также, что в истории науки  делались попытки и поныне делаются многочисленные попытки дать определение  понятию числа. Хорошо известно определение Фреге-Рассела (см. его изложение в книге Р.Л. Гудстейна (1б1), возбудившее ряд других поисков. Таким образом, реальные трудности определения числа, как математические, так и логические7, не дают оснований для признания его первичности в общематематической системе понятий.

      Правда, можно предположить, что хотя для  описания числовых систем и требуются  многие предварительные понятия, однако эти системы в совокупности и  задают сам предмет математики в  его всеобщих особенностях, ибо нечто становится математическим явлением лишь постольку, поскольку оно выражено в числовой форме, дано через число.

      Но  это предположение не оправдывается. Так, соотношение эквивалентности (рефлексивное, симметричное и транзитивное соотношение) можно обнаружить в равенстве отрезков, в подобии фигур. Примером соотношения порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение) является соотношение «меньше» для отрезков, «моложе» для людей, «мягче» для минералов [15, стр. 27, 33]. Здесь предмет математического рассмотрения дан без его предварительного выражения в форме числа. При этом ряд чисел сам является лишь частным случаем указанных соотношений.