Решение логарифмических неравенств при подготовке к ЕГЭ в старших классах

 
 
 
 
 

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА 
 
 

Курс: Методика обучения математике в основной и старшей образовательной школе 

Тема: Решение логарифмических неравенств при подготовке к ЕГЭ в старших классах 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва, 2011 год 
 

Содержание

Введение……………………………………………………….……………….….3

Основные  свойства логарифма…………………………………………………..4

Методы  решения логарифмических неравенств………………………………..6

Решение задач……………………………………………………………..………7

Заключение…………………………………………………………………...…..14

Список  использованной литературы……………………………………….…..15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Введение. Из истории логарифмов 

       Логарифмы были придуманы для ускорения  и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени  одного и того же основания, принадлежит  Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером (1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги (1552-1632). Первым опубликовал работу Непер в 1614 г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620 г. Идеей логарифма Непер овладел около 1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого - «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогрессии, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогрессии. Первые таблицы на русском языке были изданы в 1703 г. при участии замечательного педагога 18 в. Л. Ф. Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма». 
 
 

       Основные  свойства логарифма

       Приведем  основные свойства логарифма.

       P1. Основное логарифмическое тождество:

       

       где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

       P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

       log_a N₁·N₂ = log_a N₁ + log_a N₂       (a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

       Замечание. Если N₁·N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

       log_a N₁·N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂|       (a > 0, a ≠ 1, N₁·N₂ > 0).

       P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

              (a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

       Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

              (a > 0, a ≠ 1, N₁N₂ > 0).

       P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

       log_a N ^k = k log_a N         (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

       Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то

       log_a N ^2s = 2s log_a |N|       (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

       P5. Формула перехода к другому основанию:

              (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

       в частности, если N = b, получим

       Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

       и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Методы  решения логарифмических  неравенств

       Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

       В процессе решения логарифмических  неравенств часто используются следующие  утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

       Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

       Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

       Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

       Подчеркнем, что в неравенстве log_a f(x) > log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.  

Решение задач

Пример 1. Решить неравенства

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

 

b) Основание  логарифма число между нулем  и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем  0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

 

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем  1 = log_2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак < ).