Решение логарифмических неравенств при подготовке к ЕГЭ в старших классах

 

Решение первой системы совокупности:

 

Решение второй системы совокупности:

 

Неравенства вида F(log_ax) > 0 сводятся подстановкой t = log_ax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Обозначив , получим квадратное неравенство t² + t - 2 ≥ 0, откуда t ≤ -2 или t ≥ 1. Таким образом,

b) Обозначив  t = lgx, получим рациональное неравенство

.

Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

Следовательно,

В случае логарифмических неравенств, которые  не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) ОДЗ неравенства - множество (5;+¥). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x - 2)(x - 5) < lg4.

Используя утверждение 1, получим

Решаем  систему 

и, учитывая ОДЗ, получим x Î (5;6).

e) Определим  ОДЗ неравенства

Приведя все логарифмы к основанию 3, получим 

Используя свойство P2, получим

Обозначив log₃x = t, решим полученное неравенство методом интервалов

Следовательно,

откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:

c) Определим  ОДЗ неравенства

Поскольку , неравенство равносильно следующему:

откуда  следует 

Обозначив t ≥ 0, получим квадратное неравенство

(t - 1)² > t + 11,

или

t² - 3t - 10 > 0,

откуда  t < -2 или t > 5. Поскольку t ≥ 0, остается t > 5 или   Û   x > 5.

Учитывая  ОДЗ, получим ответ: x Î (5;+¥).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)È(2;+¥). Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как  в ОДЗ   log₂(x-1) > 0 при x > 2 и log₂(x-1) < 0 при 1 < x < 2, следует, что для любого x из ОДЗ, при x Î (1;2)È(2;3) и при x > 3, значит,

получим x Î (1;2)È(3;+¥).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Заключение

       В данной работе была кратко приведена  основная теоретическая информация, необходимая для решения логарифмических  неравенств. Помимо этого, были рассмотрены  некоторые общие приемы решения таких неравенств и приведены примеры решения. Следует отметить, что решение логарифмических неравенств часто вызывает затруднения у школьников при подготовке к Единому государственному экзамену по математике. Это, в свою очередь, требует повышенного внимания к данной теме. Логарифмические неравенства встречаются учащимся как при решений заданий части В (как правило, это простейшие логарифмические неравенства), так и при решении заданий уровня повышенной сложности, встречающихся в части С. В последнем случае, задания требуют от учащихся уверенных навыков решения логарифмических неравенств, и наиболее рационально подходить к решению этих заданий в рамках функционального метода решения логарифмических неравенств. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Список  использованной литературы

1. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика. Справочные материалы», Книга для учащихся, М.: «Просвещение», 1990 г.

2. Л. О.Денищев, Е. М.Бойченко и др. «Готовимся к единому государственному экзамену», Математика, Изд. «Дрофа», 2004 г.

3. Ф. Ф.Лысенко, В. Ю.Калашников «Подготовка к ЕГЭ по

математике», Ростов-на-Дону, 2002 г.