Решение систем линейных алгебраических уравнений

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Ноября 2012 в 17:23, лекция

Описание

Требуется найти решение системы линейных уравнений:
a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22 x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32 x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3

Работа состоит из  1 файл

Тема 3.doc

— 300.00 Кб (Скачать документ)

 

0   0   0  …  1  

 

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A ¹ 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной  выше задаче решения системы уравнений.

Пусть  A – квадратная невырожденная матрица порядка n:

 

          a11   a12   a13  … a1n     


          a21   a22   a23  … a2n     

A =    a31   a32   a33  … a3n   

 

          an1   an2   an3  … ann    

 

и A-1 – ее обратная матрица:

 

           x11   x12   x13  … x1n     


           x21   x22   x23  … x2n     

A-1 =   x31   x32   x33  … x3n   

 

           xn1   xn2   xn3  … xnn    

 

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n2 уравнений с n2 переменными xij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

 

a11x11 + a12 x21 + a13x31 + … + a1nxn1 = 1


a21x11 + a22 x21 + a23x31 + … + a2nxn1 = 0

a31x11 + a32 x21 + a33x31 + … + a3nxn1 = 0                                       (3.20)

 

an1x11 + an2 x21 + an3x31 + … + annxn1 = 0

 

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

 

a11x12 + a12 x22 + a13x32 + … + a1nxn2 = 0


a21x12 + a22 x22 + a23x32 + … + a2nxn2 = 1

a31x12 + a32 x22 + a33x32 + … + a3nxn2 = 0                                          (3.21)

 

an1x12 + an2 x22 + an3x32 + … + annxn2 = 0

 

и т. д.

Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

Пример 3.4.

Вычислим обратную матрицу A-1 для матрицы

 

A = 1.8   –3.8    0.7    –3.7

0.7     2.1  –2.6    –2.8


7.3     8.1    1.7    –4.9

1.9   –4.3 –4.3    –4.7

 

По формулам (3.7) за три  шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

 

1.8              –3.8               0.7              –3.7


0                   3.57778    –2.87222       –1.36111

0                   0               17.73577       19.04992

0                   0                  0                   5.40155

 

Далее, применим процедуру  обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных  по формулам (3.7) из столбцов единичной  матрицы:


1           0             0           0

0           1             0           0

0  ,        0  ,          1  ,        0

0           0             0           1

 

Каждый раз будем получать столбцы  матрицы A-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A-1:

 

–0.21121   –0.46003    0.16248     0.26956


–0.03533     0.16873    0.01573   –0.08920

  0.23030     0.04607  –0.00944   –0.19885 .


–0.29316   –0.38837    0.06128     0.18513


Информация о работе Решение систем линейных алгебраических уравнений