Министерство  общего и профессионального образования

Свердловской  области

Управление  образования Администрации города Нижний Тагил

Образовательное учреждение: МОУ СОШ № 55

Образовательная область: математика

Предмет: алгебра 

РЕФЕРАТ

на тему:

Решение задач с параметрами

Исполнитель:

Научный руководитель:

Рецензент областного тура: 
 
 
 
 
 
 
 

Нижний Тагил

2004

 

Оглавление

 

Введение

    Изучение  многих физических процессов и геометрических закономерностей  часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их  системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается  только на немногочисленных факультативных занятиях.

    Готовя  данную работу, я ставила цель более  глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

    В первой части моего реферата я  ввожу некоторые обозначения, используемые впоследствии для более краткой записи решений; во второй части я рассматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения задач, а в третьей – графический метод.

    Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

     

 

1. Основные определения

      Задачи  с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с  буквами, как с числами. Они связаны с решением уравнений и неравенств или исследованием функций, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.

      Введём  следующие обозначения и термины:

      N={1, 2, …} – множество всех натуральных чисел;

      w={0, 1, 2, …} – множество всех натуральных чисел с нулём;

      Z={-N, 0, N} – множество всех целых чисел;

      Q={Z, , где pÎZ, qÎN} – множество всех рациональных чисел;

R={Q, иррациональные числа} – множество всех действительных чисел;

      Æ – пустое множество – множество, не имеющие ни одного элемента;

      Î – знак принадлежности;

      Þ – знак следствия;

      Û – знак равносилия;

      ОДЗ – область допустимых значений;

      D – дискриминант.

 

2. Аналитический способ  решения задач

2. 1. Линейные уравнения

      Пример 1. Решить относительно х:

      По  смыслу задачи (m-1)(x+3) ¹ 0, то есть m ¹ 1, x ¹ –3.

      Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение

      

, получаем

      

.

      Отсюда  при m ¹ 2,25 .

      Теперь  необходимо проверить, нет ли таких  значений m, при которых найденное значение x равно –3.

      

,

решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4.

      Ответ: при т ¹ 1, т ¹ 2,25, т ¹ –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение ; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т = 1 уравнение (1) не имеет смысла.

      Пример 2. Решить относительно х:

      ОДЗ: х ³ –а, х ³ 0;

и левая  часть уравнения (2) неотрицательна, дополнительно к условиям ОДЗ налагаем условие а ³ 0;

Þ

при этих условиях

;

теперь  к условиям (3) добавляем ещё условие

при а = 0 х = 0 в силу условий (3), (4); при а > 0 х ; отсюда, добиваясь выполнения условия (4), получаем

      Ответ: при а = 0 х = 0; при а ³ 1 уравнение (1) имеет единственное решение х ; при а < 0, 0 < а < 1 уравнение (1) не имеет решений.

      Пример 3. Решить относительно х:

 

а). Х ³ 0,

;

по условию  х ³ 0, то есть параметр должен удовлетворять условию

б). Х < 0,

по условию  х < 0, то есть

< 0 < 1;

.

      Ответ: при уравнение (1) имеет два решения при > 1 уравнение (1) не имеет решений.

 

2. 2. Квадратные уравнения

      Пример 1. Решить относительно х:

      а). Пусть а = 0, тогда –2х+4 = 0 Û х = 2;

      б). Пусть а ¹ 0, тогда D = 1– 4а; при 1– 4а < 0 Þ а > х Î Æ;

при 1– 4а ³ 0 Þ а £   .

      Ответ: при а = 0 х = 2; при а ¹ 0 и а £ уравнение (1) имеет два решения  ; при а ¹ 0 и а > уравнение (1) не имеет решений.

      При исследование квадратичной функции  мы используем теоремы, которые также помогают при решение задач с параметрами.

      Т₁. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b > 0,

c > 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b < 0, c > 0, то оба корня этого уравнения неотрицательны.

      Т₂. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного уравнения были больше заданного числа d:

      

      Пример 2. При каких значениях параметра  а, корни уравнения неотрицательны:

      Разделим  уравнение (1) на а, но поставим условие а ¹ 0, тогда получим

По  Т₁:     ;

1). D = ; приводим к общему знаменателю а², получаем

;  .

2). > 0; корень уравнения : а = –2 и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 1).

Получаем  а < –2, а > 0

3). ; корень уравнения : а = –3

и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).

Получаем  –3 < а < 0.  

4). Объединим  полученные результаты:

Получаем   

      Ответ: при уравнение (1) имеет неотрицательные корни.  

      Пример 3. При каких значениях параметра  а, корни уравнения больше 1: