Автор работы: Пользователь скрыл имя, 20 Ноября 2011 в 11:56, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы к экзамену по "Математике".
1.Дайте определение предела послед-и. Докажите, исходя из определения, что lim (n→∞) 4n/3n+4 = 4/3.
Число а называется пределом числовой послед-и {Xn}, если для любого положительного числа ε существует номер N из множества Ñ такой, что для любого n ≥ N выполняется неравенство: | Xn – a | < ε
√ ε > 0, сущ. N є Ñ, √ n ≥ N => | Xn – a | < ε
| Xn – a | < ε
|4n/3n+4 – 4/3| < ε, |-16/9n+12| < ε, 16/9n+12 < ε, 9n+12/16 >1/ε, n > (16-12ε)/9ε, N = [16/9ε – 4/3] +1
2.Докажите единственность предела сходящейся последовательности.
От противного Предп, что некоторая послед-ь {Xn} имеет 2 разл предела а и b, a ≠ b.
Выберем столь малые окрестности т. a и b, чтобы они не имели общ точек. Т.к. lim Xn = a, все Xn, начиная с нек номера n1, содержатся в выбран окрестности т. а; точно так же из lim Xn = b, следует, что все Xn, начиная с нек номера n2, содержатся в выбранной окрестности т. b. Положим, n0 = max {n1, n2}. Тогда числа Xn с номерами n≥ n0 должны принадлежать как первой, так и второй окрестности, что невозможно, так как окрестности не имеют общих точек.
3.Докажите ограниченность сходящейся последовательности. Приведите пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.
док-во:
Пусть lim Xn = a. Положим ε = 1 и найдем номер n0, начиная с которого | Xn – a | < 1, т. е. -1<Xn – a<1 для n≥ n0. Отсюда следует а-1<Xn<а+1 для всех n≥ n0. Заменим отрезок [а-1; а+1] таким отрезком [А;В], чтобы в него попали не только числа Xn, n≥ n0, но и все числа х1, х2,…хn0. Тогда будем иметь хn є [А;В] для всех n є N, что означает ограниченность множества {Хn}.
Пример: (-1)n
4.Сформулируйте арифметические свойства двух сходящихся последовательностей. Приведите пример двух расходящихся последовательностей,
сумма которых сходится.
Последовательность называется сходящейся, если у нее существует конечный предел lim(n→∞)xn=a и a≠±∞.
Свойства: 1)Сходящаяся
последовательность имеет только один
предел; 2)Всякая сходящаяся последовательность
является ограниченной; 3)Если члены
сходящейся последовательности {xn}
удовлетворяют неравенству xn≥b,
то и limxn≥b; 4) Если члены двух сходящихся
последовательностей {xn} и {yn}
связаны неравенствами xn≥yn
(n=1,2,…), то и limxn≥limyn; 5) Если
{xn} и {yn} сходящиеся последовательности,
то{xn±yn} тоже сходящаяся последовательность
и lim(n→∞)( xn±yn)=lim(n→∞)(xn)±lim(n→∞)(y
Пример: lnxn и (-lnxn2).
5.Сформулируйте арифметические свойства двух сходящихся последовательностей. Приведите пример двух расходящихся последовательностей,
произведение которых сходится.
Последовательность называется сходящейся, если у нее существует конечный предел lim(n→∞)xn=a и a≠±∞.
Свойства: 1)Сходящаяся
последовательность имеет только один
предел; 2)Всякая сходящаяся последовательность
является ограниченной; 3)Если члены сходящейся
последовательности {xn} удовлетворяют
неравенству xn≥b, то и limxn≥b;
4) Если члены двух сходящихся последовательностей
{xn} и {yn} связаны неравенствами
xn≥yn (n=1,2,…), то и limxn≥limyn;
5) Если {xn} и {yn} сходящиеся
последовательности, то{xn±yn}
тоже сходящаяся последовательность и
lim(n→∞)( xn±yn)=lim(n→∞)(xn)±lim(n→∞)(y
6. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите пример бм послед-тей, отношение которых не является бм послед-ью.
Послед-ь {αn} называется бм, если lim (n→∞) αn = 0.
Для любого ε > 0, сущ. N, такое, что для любого n ≥ N | αn | < ε.
(1/√n)/(1/n) =√n - не бм послед-ь
7.Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.
Док-во: Пусть {Хn} – ограниченная, а {αn} – бм послед-и. Доказать, что {Xn * αn} – бм. Так как {Хn} ограниченна, то существует число А > 0 такое, что любой элемент Хn удовлетворяет неравенству | Хn | ≤ А. Возьмем любое ε > 0. Поскольку {αn} – бм, то для положительного числа ε/А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | αn | < ε/А. Тогда при n > N |Xn * αn | = |Xn| * | αn | < A * ε/A = ε. Это означает, что послед-ь {Xn * αn} – бм.
8.Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.
Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > A. (lim (n→∞) Xn = ∞ ). Для любого A > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > A.
Любая бб послед-ь является неограниченной. Однако неограниченная послед-ь может и не быть бб послед-ью. Например, неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3 .., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами.
9.Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Приведите пример двух бесконечно больших послед-ей, сумма которых является бесконечно малой послед-ью.
Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > A. (lim (n→∞) Xn = ∞ ). Для любого A > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > A.
{аn}= (n + 1) + 1/(2 ^n+1) : 2 + ¼; 3 + 1/8; 4 + 1/16… - бб послед. (Xn > 0 => lim (n→∞) Xn = + ∞)
{an + bn}: ¼; 1/8; 1/16 – бм последь
10.Дайте определение возрастающей последовательности. Сформулируйте
теорему Вейерштрасса о существовании предела ограниченной возрастающей
последовательности.
Последовательность элементов множества Xn называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий. Для любого n€N: xn<x(n+1).
Всякая
монотонная ограниченная
11.Дайте определение предела функции в точке. Найдите на основе определения lim (x→2)(3x+5)/x²+18.
Число а называется пределом функции f (x) в точке X0 (или пределом при X→ X0) если для любой сходящейся к точке X0 послед-и значений аргумента, отличных от X0, соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу а, т. е.
lim Xn = X0 (Xn ≠ X0) => lim f(Xn) = a; lim (X→ X0) f(x) = a.
lim (x→2) (3x + 5)/x² + 18 = 1/2
12.Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если последние пределы существуют.
Пусть lim(x→a)f(x)=A; lim (x→a)g(x)=B. lim(x→a)(f(x)+g(x))= lim(x→a)f(x)+ lim (x→a)g(x)
Представим функции в окрестности точки x=a в виде суммы предела и бесконечно малой f(x)=A+α(x); g(x)=B+β(x), тогда f(x)+g(x)=(A+B)+ α(x)+β(x). В последнем выражении сумма бесконечно малых есть бесконечно малая. Это означает, что сумма функций имеет пределом сумму (A+B).
13.Докажите, что предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние пределы существуют.
Пусть lim(x→a)f(x)=A; lim (x→a)g(x)=B. lim(x→a)(f(x)*g(x))= lim(x→a)f(x)* lim (x→a)g(x)
Представим функции
в окрестности точки x=a в виде
суммы предела и бесконечно малой f(x)=A+α(x);
g(x)=B+β(x), тогда f(x)*g(x)=A*B+α(x)*B+β(x)*A+α(
15.Докажите, что предел функции f(x) = sin 1/x в точке x = 0 не существует.
lim (x→0) sin 1/x по Гейне lim (n→∞) Xn = X0, lim(x→0+0) 1/x = +∞, lim(x→0-0) 1/x = - ∞
lim (x→0+0) sin 1/x – не сущ. sin (x→0-0) 1/x – не сущ.
16.Существует ли предел функции f (x)=xsin1/x в точке x = 0? Если да, то чему равен этот предел? Ответ обоснуйте.
17.Дайте определение предела функции при x→+∞. Докажите, что функция f(x) = sinx не имеет предела при x→+∞.
Пределом функции f(x) при x→+∞ называют число а, если для любой послед-и {Xn} значений аргумента, послед-ь {f(Xn)} значений функции сходится к пределу а: lim (x→∞) f(x) = a.
f(x) = sinx => lim(x→+∞)sinx=(-1;+1)
19.Дайте определение правостороннего предела функции f (x) в точке x0 .
Приведите пример функции, у которой правосторонний и левосторонний пределы в
точке x =1 не совпадают.
Число b называется правым пределом f(x) в точке А, если для любой послед-и значений аргумента Xn, сходящихся к А и состоящих из чисел больше А (справа), соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу b. lim (x→a+0) f(x) = b.
Пример: f(x)= 1/x, x>1 lim(x→1+0)(1/x)=1
x+3, x≤1 lim(x→1-0)(x+3)=4
20.Дайте определение точки разрыва I рода функции в точке x0 со скачком s. Приведите пример функции, имеющей в точке x = 0 точку разрыва I рода со скачком 4. Ответ обоснуйте.
Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы lim(x→a+0)f(x)≠lim (x→a-0)f(x). Разность |f(x0+0)-f(x0-0)|=s называют скачком функции в точке разрыва первого рода, а сам
разрыв – разрывом со скачком s.
Функция, имеющая в точке x=0 точку разрыва I рода со скачком 4: f(x)=x3, x≤0
f(x)=x2+4, x>0
|f(0+0)-f(0-0)|=|(02+4)-03|=4
21. Дайте определение точки разрыва II рода функции в точке x0 . Приведите пример функции, имеющей в точке x = 0 точку разрыва II рода, в которой правый и левый пределы равны +∞. Ответ обоснуйте.
Точка x0 называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Пример: f(x)=1/|x|; lim(x→-0)(1/|x|)=+∞; lim(x→+0)(1/|x|)=+∞;
24.Сформулируйте теорему о существовании нуля непрерывной функции на отрезке. Используя эту теорему, докажите, что уравнение ex-x -5/4=0 имеет корень на отрезке [0;1].
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, то по крайней мере 1 раз функция обращается в нуль на этом отрезке.
ex-x -5/4=0, f(0)=-0.25, f(1)=e-2.25, e>2.25 => f(1)>0
На концах отрезка [0;1] функция принимает значения разных знаков, поэтому по теореме о существовании нуля непрерывной функции существует точка Aє[0;1], в которой f(A)=0. Получается, что данное уравнение имеет корень на отрезке [0;1].
25.Дайте определение производной функции в точке. Найдите с помощью определения производную функции f(x)=x3 в точке x0, где x0-произвольн. точка.
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’(x)= =
f(x) = x3
f ′(xо)= = = = =3
26.Дайте определение производной функции в точке. Найдите с помощью определения производную функции f(x)=sinx в точке x0, где x0-произвольная точка.
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’(x)= =