Шпаргалка по "Математика"

   f(x)=sinx

f ′(x_о)= = = =cosx₀

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

27.Дайте  определение производной  функции в точке.  Найдите с помощью  определения производную  функции f (x) = x | x | в точке x0 = 0.

   Производной функции f(x)  в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

   f(x)=x|x|

29.Сформулируйте и докажите теорему о производной суммы двух функций.

   Производная суммы двух функций равна сумме их производных.

Док-во: пусть  f(x)= u + v – t, тогда

= = + -

 

= u’+v’-t’ – чтд.

30.Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.

   Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U*V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’

Док-во:

 Dy/ Dx=

=

Т.к. U(x₀+Dx)= U + DU = U(X₀)+DU, аналогично для V

Раскрываем скобки и группируем

31.Сформулируйте  и докажите теорему  о производной  частного двух  функций

Пусть у=u/v. Тогда

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

32.Дайте определение дифференциала функции в точке x0. Используя дифференциал, найдите приближенное значение величины: ln1,05.

   Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При Dx"0, dy=y’Dx или

   Ln1.05=ln(1+0.05), 1= x₀, 0.05=Dx => f(x)= ln1 => f’(x)=1

ln1+1*0.05=0.05

33.Дайте определение эластичности функции в точке. Найдите эластичность функции f (x)=x²+2x+3 в точке x0=1.

   Эластичностью функции y = f(x)  в точке х₀ называется предел

f (x) =x²+2x+3   => E(x)=(1/ x²+2x+3)*2x+2=2/3 , при x₀=1.

34.Дайте  определение эластичной  функции в точке.  Является ли эластичной  функция f (x) = e^{x*x −2x} в точке x0 = 2.

   Функция  является эластичной в точке, если модуль её эластичности больше нуля.

   E_yx(x₀)=(2/e⁰)*e⁰*2x₀-2=4; |E_yx|=4; 4>0. Значит функция f(x) эластична в точке x₀.

35.Дайте  определение эластичности  функции в точке.  Докажите, что эластичность  произведения двух  функций равна  сумме их эластичностей, если последние эластичности существуют.

      Эластичностью функции y = f(x)  в точке х₀ называется предел

   Эластичность произведения  ф-ий  и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна E_y=x(lny)’

Док-во: Пусть  тогда .

36.Сформулируйте  теорему Ролля,  Докажите, что производная  функции f (x) = (x² +1)(x − 3)ln(1+ x) равна нулю в некоторой точке интервала (0;3).

   Если  функция непрерывна на отрезке  [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

   f(0)=(0+1)(0-3)ln(1+0)=0; f(3)=(9+1)(3-3)ln(1+3)=0.

f(0)=f(3), тогда согласно теоремы Ролля на интервале (0;3) есть хотя бы одна точка, в которой производная равна нулю.

 
 

37. Сформулируйте теорему  Лагранжа. Докажите, что, если f '(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) является константой на этом интервале.

   Пусть  функция f(x) непрерывна на отрезке  [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует точка с € (a, b) такая, что  f(b) − f(a)=f '(c) · (b − a)

 

 

       =>

38. Сформулируйте и  докажите теорему  о возрастании  дифференцируемой  функции.

   Если f ‘(x) >0 на интервале (a,b) , то функция f (x) возрастает на этом интервале.

=>

возрастает.

39.Дайте  определение локального  экстремума функции  одной переменной. Сформулируйте необходимое  условие локального  экстремума дифференцируемой функции. Приведите пример функции, для которой необходимое условие выполнено, но экстремум отсутствует.

   Точка  x₀ называется точкой локального экстремума функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x)≤f(x₀) или f(x)≥f(x₀).

   Для того  чтобы дифференцируемая функция  f(x) имела в точке x₀ локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f’(x₀)=0.

   Пример: y=x³.

40.Сформулируйте  и докажите достаточное  условие локального экстремума дифференцируемой функции.

   Для того  чтобы дифференцируемая функция  f(x) имела в точке x₀ локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f’(x₀)=0.

   Док-во: поскольку  x₀ – точка экстремума, то существует такой интервал (x₀-ε,x₀+ε), на котором f(x₀) – наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f’(x₀)=0

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

43.Дайте определение первообразной функции. Докажите, что, если F(x) и F₁ (x) -- две первообразные функции f (x) на интервале (a,b), то на этом интервале их разность есть некоторая константа.

   Функция F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений xєX выполняется равенство F’(x)=f(x).

   Док-во: Пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x). В силу определения первообразной имеем  F₁’(x)=f(x) и F₂’(x)=f(x) при любом значении x из отрезка дифференцируемости функции f(x). Составим разность F₂(x) - F₁(x) и найдем производную этой разности. (F₂(x) - F₁(x))’= F₁’(x)- F₂’(x)=f(x) – f(x)=0 Нулю равна только производная константы. Значит F₂(x)- F₁(x)=С или F₂(x)=F₁(x)+С, где С - некоторая постоянная.

44.Сформулируйте  свойства неопределенного  интеграла. Докажите, что d(∫ f (x)dx) = f (x)dx.

1. Производная  неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(∫f(x)dx)’=f(x)

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x)

d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. Неопределенный  интеграл от дифференциала некоторой  функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

 ∫dF(x)=F(x)+C

3. Постоянный  множитель можно вынести из-под  знака интеграла, точнее, если  k≠0, то

          ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

4. Неопределенный  интеграл от суммы функций  равен сумме интегралов от  слагаемых, т.е.

     ∫(f₁(x)+f₂(x))dx=∫f₁(x)dx+∫ f₂(x)dx

45.Напишите  формулу интегрирования  по частям для  неопределенного  интеграла и докажите  ее.

  

Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du =>

u∙dv= d(uv)-v∙du. Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ).   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

46.Дайте определение функции f (x), интегрируемой на отрезке [a,b]. Докажите, исходя из определения, что постоянная функция f (x) = C интегрируема на любом отрезке.

    Функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a;b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b]. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают следующим образом: I=_a∫^bf(x)dx

   Пусть на отрезке [a;b] дана ограниченная функция y=f(x). Рассмотрим разбиение T отрезка [a;b] точками деления a=x_o<x₁<x₂<…..<x_n=b. На каждом отрезке разбиения [x_k,x_k+1] найдем нижнюю и верхнюю грани значения функции y=f(x), соответственно m_k и M_k, и составим две суммы: нижнюю сумма Дарбу s_t= m_k*Δx_k и верхнюю сумму Дарбу S_t= M_k* Δx_k. Для того чтобы функция y=f(x), определенная и ограниченная на отрезке [a;b], была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовало разбиение T такое, что S_t-s_t<ε, т.е.

сΔx_k- сΔx_k=0<ε –верно при любом x.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

47.Сформулируйте  и докажите теорему  об интеграле с  переменным верхним  пределом.

   Если  функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и Ф’(t)=f(t). Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.

Док-во: Дадим верхнему пределу x приращение Dx. Тогда

 

где c - точка, лежащая  между x и x+Dx(существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла).

 Устремим Dx к нулю. При этом  x+Dx→x=>

c→x. Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует и . Теорема доказана.

48.Используя  теорему об интеграле  с переменным верхним  пределом, докажите  формулу Ньютона  – Лейбница.

  Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – первообразная для f(x), тогда: интеграл f(x)dx=F(b)-F(a), т.е.  значение определенного интеграла равно приращению любой из первообразных подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Док-во: Поскольку функция F(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. По теореме о производной интеграла по переменному верхнему пределу F(t)=_a∫^t f(x)dx=f(t), но первообразные отличаются на c-const

_a∫^t f(x)dx=F(t)+c (*)

t=a, значит  _a∫^af(x)dx=F(a)+c=0   F(a)=-c  подставим это выражение в уравнение (*) и получим:

_a∫^t f(x)dx=F(t)-F(a)

t=b, значит _a∫^b f(x)dx=F(b)-F(a)