Системы линейных уравнений и матрицы. Матричный способ решения систем

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 

      Кафедра Экономики 

 

на тему

Системы линейных уравнений и матрицы. Матричный  способ решения систем 

Выполнила: Скобликова

Ольга Васильевна

Поток ЭС – 27

Адрес: г.Омск ул.22 Партсъезда д.6 кв.38

Проверил____________________

Оценка______________________

Дата________________________  
 
 
 

Омск  – 2009 

СОДЕРЖАНИЕ 

         СОДЕРЖАНИЕ.......................................................................................2

     ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................3

1. Системы линейных уравнений и матрицы.......................................4
2. Матричный способ решения систем................................................10

Список  использованной литературы....................................................15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

      Линейная  алгебра – часть алгебры, изучающая  векторные (линейные) пространства и  их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные, и квадратичные функции на векторных пространствах.

      Линейная  алгебра, численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный  математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач  линейной алгебры.

      Среди задач линейной алгебры наибольшее значение имеют две: решение системы  линейных алгебраических уравнений  определение собственных значений и собственных векторов матрицы. Другие часто встречающиеся задачи: обращение матрицы, вычисление определителя и т.д.

      Любой численный метод линейной алгебры  можно рассматривать как некоторую  последовательность выполнения арифметических операций над элементами входных  данных. Если при любых входных  данных численный метод позволяет  найти решение задачи за конечное число арифметических операций, то такой метод называется прямым. В противоположном случае численный метод называется итерационным. Прямые методы - это такие, как метод Гаусса, метод окаймления, метод пополнения, метод сопряжённых градиентов и др. Итерационные методы – это метод простой итерации, метод вращений, метод переменных направлений, метод релаксации и др. Здесь мы будем рассматривать матричный метод. 
 
 
 
 
 
 
 

1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МАТРИЦЫ

 

     При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

     Матрицей  называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

     В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

         или    

     Для  краткого обозначения матрицы часто  будет использоваться либо одна большая  латинская буква  (например, A),  либо символ  || a _ij || ,  а иногда с разъяснением:  А = || a _ij || =    ( a _ij ), где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n).

     Числа a _ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.  В случае квадратной матрицы

        (1)

вводятся  понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1) называется диагональ а₁₁ а₁₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а_n1  а_(n-1)2 … a_1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

      Постановка  задачи. Систему уравнений вида

        (2)

мы будем  называть системой m линейных уравнений  с n неизвестными ,... , . Коэффициенты этих уравнений мы будем записывать в виде матрицы

       ,

называемой  матрицей системы. Числа, стоящие в  правых частях уравнений, образуют столбец b, называемый столбцом свободных членов.

      Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной  матрицей системы и в этой главе  обозначается     .

       .

      Если  свободные члены всех уравнений равны нулю, система называется однородной.

      Определение. Совокупность n чисел ,..., называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел вместо соответствующих неизвестных для всех i=1,...,n.

      Моя задача состоит в нахождении решений  системы (2), причем я не делаю заранее никаких предположений относительно коэффициентов и свободных членов системы и даже относительно числа уравнений и числа неизвестных. Поэтому могут представиться различные возможности. Система может вообще не иметь решения, как система

      

(если  бы решение существовало, то  равнялось бы одновременно и нулю и единице). Система может иметь бесконечное множество решений, как система (n=2, m=1)

      Решением  этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком и равных по абсолютной величине. Примеры систем, имеющих одно-единственное решение, в изобилии встречаются в школьном курсе алгебры.

      Системы, не имеющие решений, мы будем называть несовместными, а имеющие решения- совместными.

      Критерий  совместимости. Система линейных уравнений имеет вид: 

      a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

      a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂   (3)

      ……………………………..

      a_m1x₂ + a_m2x₂ +... + a_mnx_n = b_m

       

         Здесь а_ij и b_i (i = ; j = ) - заданные, а x_j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (3) в виде:

      AX = B, (3)

      где A = (а_ij) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (3), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂,..., x_n)^T,        B = (b₁, b₂,..., b_m)^T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i..

      Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂,..., c_n) называется решением системы (3), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂,..., x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂,..., c_n)^T такой, что AC ≡ B.

          Система (3) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

          Матрица 

      Ã =  

образованная  путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

      Вопрос  о совместности системы (2) решается следующей теоремой.

      Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и Ã совпадают, т.е. 

      r(A) = r(Ã) = r 

      Для множества М решений системы (2) имеются три возможности:

1. M = Ø (в этом случае система несовместна);
2. M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);
3. M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (2) имеет бесчисленное множество решений.

      Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа  неизвестных (m ≥ n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0 < r < n, то система является неопределенной.

     Пример. Решить системы уравнений.

     

     Найдем  матрицу обратную матрице A.

      ,

     Таким образом, x = 3, y = – 1.

     

     Итак, х₁=4,х₂=3,х₃=5. 

     Решить матричное уравнение: XA+B=C, где

     Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

     

     Найдем  матрицу А^-1.

     

     Проверка:

     

     Решить матричное уравнение AX+B=C, где

     Из  уравнения получаем .

     

     Следовательно,  
 
 
 
 
 
 
 

2. МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ

      Разрешимость  системы линейных уравнений.

      Когда мы говорим о главной матрице  системы линейных уравнений, то всегда имеем в виду квадратную матрицу n×n, т. е. матрицу с одинаковым количеством  строк и столбцов. Это важно.

     Если, например, количество строк (количество уравнений в системе) будет меньше, чем количество столбцов (фактически, количества неизвестных), то система будет неопределенной, т. е. мы не сможем однозначно определить все неизвестные (решить систему).

      Но  это не единственное ограничение. Из векторной алгебры известно, что система линейных уравнений имеет решение (однозначное) тогда и только тогда, когда ее главный определитель не равен нулю: Δ ≠ 0.

      Рассмотрим  случай, когда определитель системы  равен нулю. Здесь возможны два  варианта:

1. Δ = 0 и каждый из дополнительных определителей Δx_i = 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных x_i пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. При этом система имеет бесчисленное множество решений.
2. Δ = 0 и хотя бы один дополнительный определитель Δx_i ≠ 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных x_i, пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.