Системы линейных уравнений и матрицы. Матричный способ решения систем

      Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений  равно числу неизвестных, - так  называемые системы крамеровского  типа:

      a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

      a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂    (4)

      ………………………………

      a_n1x₂ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

           Системы (4) решаются одним из следующих способов:

методом Гаусса, или методом исключения неизвестных, по формулам Крамера, матричным методом.

      Я буду решать матричным методом.

      Если  матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. 
det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (3) совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы. При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений.

      К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие  как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над расширенной  матрицей системы. А в методе Крамера  – с определителями системы, образованными по специальному правилу.

    Пример 1. Решить матричным способом систему уравнений: 

x₁ - x₂ +  x₃ = 6,

2x₁ + x₂ + x₃ = 3

x₁ + x₂ +2x₃ = 5 

    Решение. Обозначим: 

    Тогда  данная система уравнений запишется  матричным уравнением AX=B. 

    Поскольку, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную: 

    Для получения решения X мы  должны умножить вектор-столбец  B слева на матрицу A: X = A^-1B. В данном случае 

и, следовательно, 

    Выполняя действия над матрицами, получим:

x₁ = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1

x₂ = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2

x₃ = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3

    Итак, С = (1, -2, 3)^T. 

     Пример 2. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

     Рассмотрим  матрицу системы  и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

     Найдем  произведение

     т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему  можно записать в виде

      или короче A∙X=B.

     Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

     Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A: . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

     Заметим, что поскольку обратную матрицу  можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно  решать только те системы, в которых  число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Д.В.Беклемишев. Курс аналитической геометрии и  линейной алгебры, 7-ое издание, стер., М.: Высш.шк.1998
2. Б.М.Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский. «Математика. Общий курс», Ст.- Петербург, «Лань», 2002
3. Г.И. Кручкович. “Сборник задач по курсу высшей математике”, М. “Высшая школа”, 1973
4. В.С. Щипачев. “Высшая математика”, М. “Высшая школа”, 1985
5. В.С. Щипачев. Высшая математика: учеб. для вузов. - 7-е изд., стер. - М. : Высшая школа, 2005