Субоптимальная оценка пониженной размерности

 
 
 

       Содержание 

1. Введение…………………………………………………………………………. 3

                                                                                                                                                           2. Уравнение динамики системы в пространстве Нr. Субоптимальный                        фильтр………………………………………………………………………………..5 

3. Уравнение  для ковариационной матрицы ошибки  субоптимальной    фильтрации. Непрерывный случай………………………………………………...7 

4. Заключение……….……………………………………………………………...12

5. Список литературы……………………………………………………………...13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       В последние годы   большое внимание уделяется вопросам оптимизации характеристик систем. Это обусловлено, например, задачами оптимизации дальности полета ракеты, минимизации ошибки оценивания координат объекта, минимизации энергии или затрат, требуемых для достижения конечного состояния. Исследование управления, с помощью которого может быть достигнута заданная цель при условии минимизации некоторого критерия качества системы, составляет фундаментальную задачу теории оптимизации.

       Для решения задачи оптимизации в  первую очередь необходимо определить целевую или стоимостную функцию. Для осуществления эффективного управления процессом необходимо знать его текущее состояние. Можно сформулировать следующие взаимосвязанные задачи, решение которых позволит построить наилучшую, или оптимальную, систему.

       1. Задача управления. Рассматривается система с заданной связью между входным управляющим воздействием и состоянием этой системы. Требуется найти управление, меняющее состояние   так, чтобы была достигнута некоторая заданная цель.

       2. Задача оценки состояния. Рассматривается  известная система со случайным входным воздействием и шумом измерения, так что измеренный выходной сигнал представляет собой искаженное состояние .   Известны распределения шума устройства и шума измерения .   Требуется найти наилучшую оценку истинного состояния системы по известному .

         3. Задача стохастического управления. Эта задача может быть получена как объединение задач 1 и 2. Требуется определить управление ,так чтобы  выходное состояние менялось желаемым образом. Присутствуют шум устройства и шум измерения . Известны законы распределения этих шумов, требуется найти наилучшую оценку состояния системы по наблюдаемому выходному состоянию , прежде чем можно будет определить наилучшее управление.

       Одним из главных разделов теории стохастического  управления является теория фильтрации. Значительный вклад в решение проблемы  фильтрации внесли Р.Калман и Р.Бьюси. Их результаты справедливы  и для нестационарных процессов. На основе теории  Калмана-Бьюси   оценка состояния является выходным параметром динамической системы, когда управление осуществляется по наблюдениям. Для определения коэффициента усиления этой системы необходимо решить уравнение Риккати. Такое же уравнение рассматривается в теории управления детерминированными системами с квадратичным функционалом. Поэтому фильтрация и управление представляют двойственную задачу. Теорема разделения позволяет оптимальную стратегию управлений составить из двух частей: оптимальной оценки вектора состояния по наблюдаемым (измеряемым) выходам системы и закона обратной линейной связи (детерминированное управление). По этому закону управляющий сигнал является линейной функцией оценки состояния. При этом для решения задачи могут быть использованы одни и те же программы для ЭВМ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уравнение динамики системы в пространстве Нr. Субоптимальный фильтр 

       Рассмотрим  динамическую систему, состояние которой  описывается уравнением ,(1) а измерение имеет вид (2).Здесь x(t) и y(t)-n и m-мерные векторы; F(t), G(t), H(t), , -  матричные функции, непрерывные и ограниченные по норме на множестве Г(норма евклидовая), имеющие соответственно размерности: v(t) и w(t) – m- и p-мерный векторы гауссовских белых шумов с нулевыми средними значениями М[v(t)]=V[w(t)]=0, , и ковариационными матрицами , , , ,(5) где матрица r(t) предполагается положительно-определенной, имеет размерность ; матрица q(t) неотрицательно-определенная, имеет размерность ; - дельта-функция Дирака. Заметим, что белый шум будет пониматься как обобщенный случайный процесс. Пусть - гауссовский n-мерный вектор с ненулевым математическим ожиданием M[ ]=0 и известной ковариационной матрицей ; векторы , v(t) и w(t) взаимно независимы, т.е.

          ,

          ,

        .

Для системы (1),(2) построим оценку вектора состояния  x(t) при помощи вектора меньшей размерности, которую назовем субоптимальной оценкой.

Введем  вектор меньшей размерности при помощи оптимального преобразования, понижающего размерность вектора: (6) где матрица считается уже выбранной оптимальным образом.

       Отобразим состояние системы (1) при помощи преобразования (6) в пространство векторов меньшей размерности. Продифференцируем (6) и подставим (1), получим ,(7) где

       Соотношение (7) представляет собой уравнение  динамики системы пониженной размерности. Дальнейшая задача состоит в построении оценок динамической системы (1) по её измерению (2) с помощью фильтра пониженной размерности, соответствующего динамике системы (7). Такие оценки будут называться субоптимальными.

       Отбросим последнее слагаемое в соотношении (7), пусть вектор удовлетворяющий укороченному уравнению, будет вектором состояния системы пониженной размерности. Уравнение (8) лишь приближенно отражает динамику системы (1).

       Лемма1.  Если является решением уравнения (7) и линейно зависит от , то имеет место представление где удовлетворяет уравнению (8), а является решением

       Перепишем уравнение измерения (2) в виде (10) где Соотношение (10) можно записать иначе: Отбросим в (10) последнее слагаемое и введем новое измерение

       Соотношение (8) и (10) являются классической моделью  Калмана, представляющей собой систему  пониженной размерности, которая приближенно  описывает состояние системы (1), (2). Соответствующий этой модели (8), (11) фильтр имеет вид

         Определим оценку состояния  исходной системы (1), (2) в виде (13), где удовлетворяет уравнению (14).  Эту оценку (13), (14)  и назовем субоптимальной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Уравнение для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации. Непрерывный  случай. 

       Обозначим через  ошибку субоптимальной фильтрации, - ошибка фильтрации в системе пониженной размерности (7), (9), Выразим ошибку субоптимальной фильтрации через и Добавим и вычтем и, учитывая соотношение (3.5), получим  Подставив в (4.15) выражение (3.3) и , получим Обозначим

       Теорема1. Если матрица , удовлетворяет соотношению (3.8), то матрица удовлетворяет дифференциальному уравнению (17) где

       Доказательство. Представим Тогда учитывая (1) и (7), получаем (18) где обозначено Так как то на основании (18) найдем

(19)

Вычислим  учитывая (1), будем иметь

Очевидно, что  (21)

Подставив соотношения (20), (21) в (19), получим  Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что ковариационная матрица может быть найдена другим путем. где - ковариационная матрица состояния исходной системы (1), (2). Используя условия оптимальности найдем (22). Чтобы определить , продифференцируем получим Подставим сюда уравнение состояния (1): (23)  Запишем решение уравнения (1) в форме Коши: тогда (24) Следовательно, Здесь воспользовались тем, что соотношением (5) и фильтрующим свойством дельта-функции. Подставляя (24) в (23),  находим (25)

      Таким образом, для получения ковариационной матрицы  можно использовать равенство (22)  в совокупности с (25). Обозначим ковариационную матрицу ошибки субоптимальной фильтрации,

      Теорема2.  Если оценка состояния системы (1), (2) , имеет вид где удовлетворяет уравнению (14)  при , то ковариационная матрица ошибки субоптимальной фильтрации определяется уравнениями

      

    

      

     где обозначено

    Доказательство. Выражение (26) сразу получается, если в соотношение подставить (16). Определим входящее в (26) слагаемые. По теореме1 удовлетворяет уравнению (17) или уравнениям (22) и (25). Покажем, что будет удовлетворять дифференциальному уравнению (28). По определению, Продифференцируем это выражение, подставив в него (7) и (14), :

     где Распишем и подставим (18) и (30), получим

где

       Определим Учитывая выражение (3) найдем а , так как векторы и взаимно независимы, следовательно,

       Аналогично  поступаем с  По определению, а , исходя из (14) при , можно представить по формуле Коши  (33). Тогда, учитывая (33) и принимая во внимание (1) и (2), распишем Можно показать, что последнее слагаемое равно нулю. В самом деле,

так как  векторы  и взаимно независимы и аргумент и принадлежат различным промежуткам тогда (34).

       Подставляя (32), (34) и (21) в (31), получаем выражение (27). Начальные условия (27) имеют вид

      

Покажем, что  удовлетворяет дифференциальному уравнению (28). Поступаем, как и в предыдущем случае, расписывая и подставляя (7) и (30):

Откуда, учитывая (34) и (32), получаем как раз требуемое  выражение (28). Начальные условия  в этом случае следующие: Покажем, что удовлетворяет дифференциальному уравнению (29). Расписывая и подставляя (30), находим Найдем выражение для Из (33) можно записать в виде Таким образом, исходя из (32) =0,

Подставляя  (36) в (35), как раз получим требуемое выражение

Для Начальные условия имеют вид Теорема доказана. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Программа 

program Project1; 

{$APPTYPE CONSOLE} 

uses

  SysUtils;

  Var x,y,z,u,k,p,M,l:real;

       n:integer;

begin

Write('Число итераций =');Readln(l);

  p:=2;

  x:=0;

  y:=2;

  z:=2;

  n:=0;

while n<>l do

begin

   p:=p+2*(n+1)*((1/(n+1))*(1/(n+3))-     1/(n+1)*(n+1))*p+(1/(3*n+8))*(1/((2*n+1)*(2*n+1))-(1/(n+3))*(p*COS(n)*(n+1)/SIN(2*n+7))*(p*COS(n)*(n+1)/SIN(2*n+7)));