Теорема сложения вероятностей совместных событий

 Теорема сложения вероятностей совместных событий

 Вероятность суммы двух совместных событий равна  сумме вероятностей этих событий  без вероятности их совместного  появления.

 Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

 Вероятность появления хотя бы одного события

 Вероятность появления события А заключающееся в наступлении хотя бы одного из независимых совокупностей событий .А₁,А₂…А_n равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий А₁,А₂…А_n

 Р(А)=1-q¹*q²*…*qⁿ

 

Формула полной вероятности

 Пусть событие А может появиться вместе с одним из образующих полную группу попарнонесовместных событий Н₁,Н₂…Н_n называемых гипотезами, тогда вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой гипотезе

 

 Формула Бейса

 Пусть имеется  полная группа попарнонесовместных  гипотез Н₁,Н₂…Н_n с известными вероятностями появления. В результате проведения опыта появилось некоторое события А, требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие А произошло

   

 Повторение  опытов

 Несколько опытов называются независимыми, если вероятность одного или иного  из исходов каждого их опытов не зависит от того какие исходы имели  другие опыты. 

 Теорема. Если производится n независимых опытов в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р, причем то тогда вероятность того, что событие А появится ровно m раз определяется по формуле.

 Формула Бернули

  

 формула Бернули применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появления достаточно велики.

 Если  число испытаний n стремится к 0, а вероятность появления события А в каждом из опытов р стремится к 0, то для определения вероятности появления события А ровно m раз применяют формулу Пуассона

         a=n*p

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна

 

 
 
 
 
 

Интегральная  теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом  из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раза приблизительно равно

 

Случайные величины и законы их распределения

 Опытом  называется всякое осуществление определенных условий и действий при которых  наблюдается изучаемое случайное  явление. Опыты можно характеризовать  качественно и количественно.

 Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или  иное значение., причем заранее не известно какое именно. Случайные величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)

 Дискретными называются  случайные величины принимающие отдельные изолированные друг от друга значения, которые можно переоценить.

 Непрерывными  величины возможные значение которых непрерывно заполняют некоторый диапазон.

 Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими им вероятности.

 

Характеристики  положения случайной  величины.

 Модой (Мо) случайной величины х называется наиболее вероятное ее значение. Это определение строго относится к дискретным случайным величинам.

 Для непрерывной  величины модой называется такое ее значение для которого ф-ция плотности распределения имеет максимальную величину.

 Медианой (Ме) случайной величины называется такое ее значение для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения.

 Для непрерывной  случайной величины медиана это  абсцисса точки в которой площадь  под кривой распределяется пополам.

 Для дискретной случайной величины значение медианы  зависит от того четное или нечетное значение случайной величины

 n=2k+1, то Ме=х_к+1 (среднее по порядку значение)

 Если  значение случайных величин четное, т.е  n=2k, то

 

 Некоторые законы распределения  случайных величин.

 Для дискретных случайных величин - биномиальное распределение и распределение Пуассона

 Для непрерывных - равномерное показательное, экспоненциальное и нормальное распределение.

 
 
 
 
 
 

 Биномиальное  распределение.

 Биномиальным  называют законы распределения случайной  величины Х числа появления некоторого события  в n опытах если вероятность р появления события в каждом опыте постоянна

 

 Сумма вероятностей представляют собой бином Ньютона

 

 Для определения  числовых характеристик в биномиальное распределение подставить вероятность которая определяется по формуле Бернули.

 

 

 При биномиальном распределении дисперсия равна  мат. Ожиданию умноженному на вероятность  появления события в отдельном  опыте.

Нормальный  закон распределения (закон Гаусса)

 Нормальным  называется распределение случайной  величины Х если ф-ция плотности  распределения

 

 

 Полученное  выражение через элементарные функции  не может быть выражено, такая функция  так называемый интеграл вероятности для которой составлены таблицы, чаще всего в качестве такой функции используют

 

 

 Часто по условию задачи необходимо определить вероятность попадания случайной  величины Х на участок симметричный математическому ожиданию.

 

 Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении  случайной величины.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Плотность распределения вероятности  непрерывной случайной величины.

 Плотность распределения вероятности непрерывной  случайной величины Х называется функция f(х) равная первой производной от функции распределения F(х)

 График  плотности распределения называется кривой распределения. 

 Основные  свойства плотности функции распределения:

1. f(х)>0

Классификация событий

 Событием  называется любой исход опыта, различают  следующие виды событий:

• случайные
• достоверные
• невозможные

 Понятие достоверного и невозможного события  используется для количественной оценки возможности появления того или иного явления, а с количественной оценкой связана вероятность.

 События называется несовместными в данном опыте если появление одного из них исключает появление другого.

 События называется совместными если появление одного из них не исключает появление остальных.

 Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

 Если  два несовместных события образуют полную группу они называются противоположными

 События называется равновозможными если появление ни одного из них не является объективно более возможным чем другие.

 События называются неравновозможными  если появление хотя бы одного из них является более возможным чем другие.

 Случаями называются несовместные равновозможные и образующие полную группу события.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Классическая  формула вероятности

Если множество  элементарных событий Ω={ω1,ω2,…ωN},конечно и все элементарные события равновозможны, то такая вероятностная схема носит название классической. В этом случае вероятность Р{А} наступления события А, состоящего из М элементарных событий, входящих в Ω, определяется как отношение числа М элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу N элементарных событий. Эта формула носит название классической формулы вероятности: Р{А}= M/N.

В частности, согласно классической формуле вероятности:

Р{ωi }=1/N   (i=1,2,... , N)

Р{Ω}= N/N =1

P{Æ}=0/N =0

Комбинаторика, 1) то же, что математический комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.). Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно A_n^m =? A_n^m называют числом размещений из n элементов по m. Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно  C_n^m = C_n^m называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа C_n^m получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена: (a+b) ⁿ=C_n⁰ aⁿ + C_n¹ a^n-1b +C_n²a^n-2b^{2 ?}+... + C_n^n-1ab^n-1 + C_nⁿ bⁿ, и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов: C_n^m=C_n^n-m, C_n^m? + C_n^m+1 = C_n+1^m+1, C_n⁰ + C_n¹ + C_n² +...+ C_n^n-1 + C_nⁿ =2ⁿ, ? C_n⁰ - C_n¹ + C_n²-...+ (-1) ⁿC_nⁿ = 0.  Числа A_n^m, P_m и C_n^m связаны соотношением:  A_n^m=P_m C_n^m. Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой n^m, число сочетаний с повторением - формулой C^m_n+m-1

Условная  вероятность события А при условии В равна Р(А/B)=P(A*B)/P(B), Р(В)>0.

2) Событие  А не зависит от события  В, если Р(А/B)=P(A). Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то событие В не зависит от А. В самом деле при Р(А)>0 имеем Р(B/A)=P(A*B)/P(A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=P(A)*P(B)/P(A)=P(B). Вытекает следующая формула умножения вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/A). Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3) События А1,А2,…,Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е. Аi*Aj=0, i не=j, U по i от 1 до n Аi=омега.