Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность совместного появления двух событий  равна произведению вероятности  одного из них на условную вероятность  другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

величина  Х наз.распределённой по геометрическому закону с параметром р (рÎ[0;1]), если она принимает значения 1,2,3… с вероятностями Р{Х=х}= р(1-р)^х-1  (х = 1,2,3…).

Случайную величину Х можно интерпритировать как число испытаний Бернулли, которые придётся произвести до первого  успеха, если успех в единичном  испытании может произойти с  вероятностью р.

Математическое ожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение: МХ=1/p.

Дисперсия: DX=1-p/p²

Функцией  распределения случайной  величины Х называется функция F_X(x)= P{X<x}, xÎR

Под {X<x}понимается событие, состоящее в том, что  случайная величина Х принимает значение меньшее, чем число х. Если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F(x) º F_X(x).

Как числовая функция от числового аргумента  х, функция распределения F(x) произвольной случайной величины Х обладает следующими свойствами:

1)для любого xÎR: 0£ F(x) £ 1

2) F(-¥) = lim_x®¥ F(x) = 0 ; F(+¥) = lim_x®¥ F(x) = 1;

3) F(x)-неубывающая  функция, т.е.для любых х1,х2  ÎR таких, что х1<х2: F(x1) £ F(x2);

4)для любого xÎR: F(x)= F(x-0)= lim _z<x,z®xF(z).

Равномерным называют распределение  вероятностей Н.С.В. Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат  все возможные  значения Х, плотность  сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0. Нетрудно убедиться, что интеграл от –бесконечности до бесконечности  р(х)dx=1. Для С.В., имеющей равномерное распределение , вероятность того, что С.В. примет значения из заданного интервала (х,х+дельта) прин. [a,b], не зависит от положения этого интервала на числовой оси и пропорциональна длине этого интервала дельта: P{x<X<x+дельта}=интеграл от х до х+дельта 1/b-adt=дельта/b-a. Функция распределения Х имеет вид: F(x)=0, при х<=a, x-a/b-a,при a<x<=b,1при х>b.

Случайная величина Х с функцией распределения

F(x)=  {0,         x<0,

           {1- e ^–μx  x³0

называется  распределённой по показательному закону с параметром μ. Плотность распределения  этой случайной величины получается путём дифференцирования:

f(x)={0,      x<0,

        {μe^–μx  x³0.

Интервал  времени между двумя последовательными появлениями некоторого редкого события описывается случайной величиной, распределённой по показательному закону.

MX=1/μ   DX=1/μ²

Н.С.В. Х имеет нормальное распределение вероятностей с параметром а  и сигма>0, если ее плотность распределения  имеет вид: р(х)=1/(корень квадратный из 2пи *сигма) * е в степени –1/2*(x-a/сигма)*2. Если Х имеет нормальное распределение, то будем кратко записывать это в виде Х прибл. N(a,сигма). Так как фи(х)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2 – плотность нормального закона распределения с параметрами а=0 и сигма=1, то функция Ф(х)=1/(корень из 2пи)* интеграл от –бесконечности до х е в степени –t*2/2dt, с помощью которой вычисляется вероятность P{a<=мюn-np/(корень из npq)<=b}, является функцией распределения нормального распределения с параметрами а=0, сигма=1