Задача  № 1.30. 

      Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность  того, что первый станок в течение  смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти  вероятность того, что в течение  смены выйдут из строя: а) не менее двух станков;       б) два станка; в) три  станка. 

     Решение. Будем использовать правила сложения и умножения вероятностей.  

     б) Вероятность того, что в течение смены выйдут из строя два станка, равна: 

     

 

     в) Вероятность того, что в течение смены выйдут из строя три станка, равна: 

     

 

     а) Вероятность того, что в течение смены выйдут из строя не менее двух станков (два или три станка), равна:

     

 

      Ответ: а) 0,098;   б) 0,092;   в) 0,006. 

 

Задача  № 2.30. 

     Два завода выпускают  холодильники. Первый из них делает 60% всей продукции, второй – 40%, причем 80% продукции  первого завода и 90% второго – высшего  качества. а) Найти  вероятность того, что наугад взятый холодильник высшего  качества. б) Выбранный  наугад холодильник  оказался высшего  качества. Какова вероятность  того, что он изготовлен на втором заводе? 

     Решение. Введём события: А – Взятый наугад холодильник высшего качества, – Холодильник изготовлен на -м заводе, События образуют полную группу событий.

     По  условию задачи вероятности гипотез:

     

а условные вероятности событий:

     

 

      а) По формуле полной вероятности вероятность события А (взятый наугад холодильник высшего качества): 

 

     б) Наугад взятый холодильник оказался высшего качества. Вероятность того, что он изготовлен на втором заводе, равна:

 
 

Ответ:  а) 0,84;   б) 0,43.

 

Задача  № 3.30. 

      Вероятность выиграть по одной  облигации государственного займа равна 1/3. Найти  вероятность того, что имея 6 облигаций  этого займа, можно  выиграть: а) по двум облигациям; б) по трем облигациям; в) не менее  чем по двум облигациям. 

     Решение. Можно считать, что имеется n = 6 испытаний Бернулли с вероятностью успеха  p = 1/3 и неуспеха q = 2/3.  

     а) Вероятность выиграть по двум облигациям равна:

     

 

     б) Вероятность выиграть по трем облигациям равна:

     

     в) Пусть событие С – Выигрыш будет менее чем по двум облигациям. Тогда противоположное событие – Выигрыш будет не менее чем по двум облигациям. Вероятность этого события равна:

 
 

      Ответ: а) 0,329;  б) 0,219;  в) 0,735.

 

Задача  № 4.30. 

Для заданной дискретной случайной величины найти: 1) закон распределения;             2) функцию распределения и построить её график; 3) математическое ожидание ;    4) дисперсию ; 5) среднее квадратичное отклонение

Проводятся три  независимых измерения исследуемого образца. Вероятность допустить  ошибку в каждом измерении равна 0,01. Случайная величина – число ошибок, допущенных в измерениях. 

      Решение. Дискретная случайная величина (число ошибок, допущенных в измерениях) может принимать значения и её закон распределения определяется вероятностями:

      Можно считать, что имеется  испытания Бернулли с вероятностью успеха и неуспеха Тогда по формуле Бернулли:

    

     

      Контроль:  0,970299 + 0,029403 + 0,000297 + 0,000001 = 1.  

      Тогда искомый закон распределения  СВ   имеет вид:

 

      Математическое  ожидание дискретной случайной величины :

      Дисперсия дискретной случайной величины :

 

      Среднее квадратичное отклонение случайной величины :

      По  определению функция распределения  имеет вид:

      При при

      при

      при

      при   
 
 
 
 
 
 

      Следовательно, функция распределения имеет  вид: 

 
 
 

Построим  график функции распределения

    

               1

  0,999999

  0,999702

  0,970299

    

   

    

  

               0               1                  2                   3                         

 

Задача  № 5.30. 

      Дана  плотность распределения  случайной величины

      

         Найти: 1) параметр  2) функцию распределения ; 3) математическое ожидание ; 4) дисперсию ; 5) вероятность попадания случайной величины на отрезок  

      Решение. 1) Определим параметр c из равенства:

     2) Найдём функцию распределения F(x). Если то

Если 

то

     Если  то Следовательно, функция распределения имеет вид:

 

      3) Математическое ожидание случайной величины :

 

      4) Дисперсия случайной величины :

 

      Среднее квадратичное отклонение непрерывной  случайной величины :

 

      5) Вероятность попадания СВ на отрезок равна:

 

 

Задача  № 6.30.

      В результате эксперимента получены данные, записанные в виде  статистического  ряда:

     Требуется:

      а) найти размах варьирования и построить интервальный вариационный ряд;

      б) построить полигон  частот, гистограмму  относительных частот;

      в) вычислить эмпирическую функцию распределения  и построить её график;

     г) найти числовые характеристики выборки 

      д) считая выборку соответствующей  нормальному распределению, найти доверительные  интервалы для  математического  ожидания при надёжности

      е) приняв в качестве нулевой гипотезы H₀: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости  

      Решение. По результатам эксперимента построим вариационный ряд: