Застосування чисел Фібоначчі

1. Сума перших n чисел Фібоначчі можливо обчислювати  по формулі:

U₁+U₂+…+U_n=U_n+2-1 (3)

Доведемо це:

U₁= U₃– U₂ 
U₂= U₄– U₃ 
U₃= U₅– U₄ 
…………… 
U_n-1= U_n+1– U_n 
U_n= U_n-2– U_n+1

Додавши всі ці рівності почленно, отримаємо:

U₁+U₂+ U₃₊…+U_n=U_n+2 – U₂, згадаємо, що U₂=1, значить U₁+U₂+ U₃₊…+U_n= U_n+2 – 1

2. Суму чисел Фібоначі с непарними номерами можливо обчислити по формулі:

U₁+U₃+ U₅+…+U_2n-1=U_2n (4)

Доведемо це:

U₁= U₂ 
U₃= U₄– U₂ 
U₅= U₆– U₄ 
………….. 
U_2n-1=U_2n– U_2n-2

Додавши всі ці рівності почленно, отримаємо:

U₁+U₃+ U₅+…+U_2n-1=U_2n

3. Суму чисел Фібоначі з парними номерами можливо обчислити за формулою:

U₂+U₄+ U₆+…+U_2n=U_2n+1-1 (5)

Доведемо це:

На основі 1-ї властивості ми маємо:

U₁+U₂+ U₃+…+ U_2n=U_2n+2-1

На основі 2-ї властивості ми маємо:

U₁+U₃+ …+U_2n-1=U_2n

Віднімаючи почленно з рівності (3) рівність (4) ми отримаємо:

U₂+U₄+ U₆+…+U_2n=U_2n+2-1– U_2n= U_2n+1-1

4. Формули (3) і (4) були виведені за допомогою почленного складання цілої серії очевидних рівностей. Ще одним прикладом застосування цього прийому може служити висновок формули для суми квадрат першого n чисел Фібоначчі.Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи:

U₁²+U₂²+…+U_n²=U_n?U_n+1 (6)

Звернемо увагу для цього, що

U_k+U_k+1– U_k-1 ·U_k = U_k(U_k+1– U_k-1)= U_k·U_k= U_k²

U₁² =U₁·U₂ 
U₂²= U₂·U₃– U₁· U₂ 
U₃²= U₃ U₄– U₂ U₃ 
…………………. 
U_n²=U_n·U_n+1– U_n-1·U_n

Склавши ці рівності почленно, ми отримаємо:

U₁²+U₂²+…+U_n²=U_n·U_n+1

А тепер розглянемо ще одна чудова властивість послідовності  Фібоначчі і поговоримо про її зв'язки з гармонією Золотого перетину. 
Навіть зараз, коли він стоїть у руїнах, Парфенон в Афінах - це одне з найбільш знаменитих споруд у світі. Він був побудований в епоху розквіту давньогрецької математики. 
Фасад Парфенона вписується в прямокутник, сторони якого утворюють так зване золоте перетин. Слово "перетин" тут вжито в значенні "ділення на частини". Золотий перетин відрізка - це поділ його на частини довжиною X і Y так, що (X + Y): X = X: Y. Довжина прямокутника більша його ширини приблизно в 1,6 рази. Обчислити точне значення можна; греки вміли будувати золоті прямокутники, але не вміли знаходити довжини сторін[1, с.45-47]. 
Сучасні комп'ютери можуть обчислити відношення довжини до ширини з будь заданою точністю. З точністю до трьох знаків після коми воно дорівнює 1,618. Це означає, що прямокутник шириною 1 метр повинен мати довжину приблизно 1,618 м, або 1 м 61 см 8 мм. Речами, що мають таку форму, виявляється зручно користуватися. Тому багатьом "прямокутним" предметів нашого побуту (книгам, сірникових коробках, валізах і т.п.) часто надається саме така форма. 
Стародавні греки вважали, що прямокутники, сторони яких утворюють золотий перетин, мають найбільш приємну для очей форму. Греки приписували золотому перетину і деякі магічні властивості, так само як і єгиптяни, які використовували його при розрахунках пірамід. Будь прямокутник, сторони якого відносяться як 1:1,618, будемо називати золотим. А при чому тут числа Фібоначчі? Якщо ви спробуєте розділити кожне з них на попереднє, то вийде: 1: 1 = 1; 2: 1 = 2; 3:2 = 1,5; 5:3 = 1,666 666; 8: 5 = 1,6; 13: 8 = 1,625; 21: 13 = 1,615384; ...

 

 

3.  Золотий переріз (формула Біне)

  Золотий переріз — це найкомфортніша для ока пропорція, форма, в основі побудови якої лежить поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє якнайкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії.

  У математиці принцип золотого перерізу вперше сформульовано ще в «Началах» Евкліда, найвідомішому математичному творі античної науки, написаному в III столітті до н.е.

  У часи середньовічного Ренесансу геніальний італійський математик Лука Пачолі написав першу книжку про золотий переріз, назвавши її «божественною пропорцією», — продовжив Олексій Стахов. — На його думку, навіть Бог використовував принцип золотого перерізу для створення Всесвіту. До речі, цю ідею пізніше використав Кеплер, чия остання книжка так і називалася — «Гармонія Всесвіту» [12, с.35-37].

  Водночас Леонардо да Вінчі, другом котрого був Пачолі, використовував для композиційної побудови своєї знаменитої Джоконди т.зв. «золотий рівнобедрений трикутник», у якому відношення бедра до основи дорівнює золотому перерізу. Результат відомий, — підсумував учений.

  Розглянемо малюнок. Відрізок прямій АВ можна розділити точкою C на дві частини наступними способами:  
· На дві рівні частини АВ: АC = АВ: ВС;  
· На дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють), таким чином, коли АВ: АC = АC: ВС.  
Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні.  
  Алгебраїчно «золотий перетин можна виразити таким чином: AB: AC = AC: (AB - AC), звідки AC = AB: 2 ( - 1) ≈ 0,62 AB. Число 0,62 позначено літерою φ, на честь давньогрецького скульптора Фідія.  
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618 ..., якщо C прийняти за одиницю, А = 0,382 ...  
  Золотий перетин тісно пов'язане з числами Фібоначчі. Числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послiдовностi Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні фігури.  
  Розглянемо взаємозв'язок «золотого перерізу з числами Фібоначчі.  
Числа, що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... називаються «числами Фібоначчі», а сама послідовність - послідовністю Фібоначчі. Суть послідовності Фібоначчі в тому, що починаючи з 1, 1 наступне число виходить складанням двох попередніх.  
  Дана послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякого постійного співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто представляє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дробовій частині. Його неможливо виразити точно.  
  Якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається близько ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевершує, то не досягає його[13, с.77-80].  
  Широке поширення отримали т.зв. «Золоті фігури», мають у своїй основі «золотий перетин».  
  Прямокутник з «золотим» відношенням сторін стали називати «золотим прямокутником». Він також володіє цікавими властивостями. Якщо від нього відрізати квадрат, то залишиться знову золотий прямокутник. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. А якщо провести діагональ першого і другого прямокутника, то точка їх перетину належатиме всім одержуваним золотим прямокутниках.

  Існує цікавий ланцюговий дріб, всі числа в якому дорівнюють 1:

 
Якщо позначити це число за х,то воно задовольнятиме рівняння  1 + 1/x=1, або х²+х+1=0. Розляненмо його додатній розв*язок х₁=(1+√5):2≈1,618...

Саме це число називають  в математиці "золотим перерізом" і позначають грецькою літерою τ.

  Наприклад, поштові листівки виготовляють у вигляді прямокутника, відношення сторін у якому дорівнює цьому числу. Якщо від цього прямокутника відрізати найбільший можливий квадрат, то отримаємо прямокутник, подібний даному. Процес цей є нескінченним, і ми вже знаємо чому: розклад ірраціонального числа τ=(1+√5):2 у ланцюговий дріб є нескінченним. 

  Послідовність чисел Фібоначчі 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... у якій кожний наступний елемент дорівнює сумя двох попередніх тісно пов*язана з τ: відношення сусілніх елементів у ній наближено дорівнює "золотому перерізу". І чим "далі" від початку розташовані елементи послідовності, тим ближче їх відношення до цього числа. На графіку це має такий вигляд: 

 

  Числа Фібоначчі пов'язані із золотою пропорцією за допомогою дивовижних математичних формул, які були виведені в 19-му столітті французьким математиком Біне 
  Однак подібно до того, як ім'я Фібоначчі пов'язано з числами Фібоначчі, ім'я Біне в сучасній науці асоціюється з чудовою математичними формулами, які встановлюють зв'язок чисел Фібоначчі та Люка з "золотою пропорцією"[18, с.22-25].

Ще раз дамо визначення чисел Фiбоначчi:

Визнечення. Числа Фiбоначчi , для , визначаються рекуррентно

(1)   , ;

2. для всiх .

Iз визначення чисел Фiбоначчi слiдує, що

, , , , , , , , , , .

Для обчислення чисел Фібоначчі справедлива наступна формула Біне:

(3)  , .

Із (1) и (2) слідує, що індукційне припущення, при доведенні формули Біне, має припускати справедливість (3) для та , і значить, початкові умови мають вимагати виконання (3) для і .  Тому доведення формули Біне може проводитися по наступній теоремі математичної індукції.

Теорема 1. Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:

1. - істини.
2. ( - істини ® - істина).

Тоді предикат тотожно істинний на .

 

Проведемо доведення формули Біне по теоремі 1.

Для та рівність (3) має вид:

, .

Очевидно, що ці рівності вірні.

Припустимо, що рівність (3) істинна для чисел та . Тоді з (2) слідує, що:

.

Після простих перетворень правій частині одержимо, що:

За  індукцією формула Біне доведена[13, с.45-47].

 

 

Розділ 2 Застосування чисел Фібоначчі

2.1 Математичні  застосування чисел Фібоначчі

  Принципи «золотого перетину» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та інших мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів, головним чином античності та Відродження.

  У кожній науці  є, так звані, «Метафізичні» знання, без яких неможливе існування самої науки. Наприклад, якщо виключити з математики поняття натурального та ірраціонального чисел або аксіоми геометрії, математика відразу ж перестане існувати. З таким же правом до розряду «метафізичних» знань може бути віднесено й «золотий перетин», яке вважалося «каноном» античної культури, а потім і епохи Відродження. Однак, як це не парадоксально, в сучасній теоретичній фізиці і математиці «золота пропорція» ніяк не відображена. Нині робляться спроби показати, що «золотий перетин» є однією з найважливіших «метафізичних» ідей, без якої важко уявити подальший розвиток науки, зокрема, теоретичної фізики і математики[10, с.105].

   «Золотий переріз» та математика – невід’ємні поняття, які не можуть існувати окремо.

  Широке поширення  отримали так звані «Золоті  фігури», мають у своїй основі  «золотий перетин».

 «Золотий трикутник» - це рівнобедрений трикутник,  у якого відношення довжини  бічної сторони до довжини  основи дорівнює 1.618.  
Є й «золотий кубоід» - це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.

 
У зірчастому п'ятикутнику кожна з  п'яти ліній, що складають цю фігуру, ділить іншу відносно золотого перетину, а кінці зірки є «золотими  трикутниками». Усередині п'ятикутника можна продовжити будувати п'ятикутники, і це ставлення буде зберігатися.  
Зірчастий п'ятикутник називається пентаграмою. Піфагорійці вибрали п'ятикутну зірку в якості талісмана, вона вважалася символом здоров'я і служила розпізнавальним знаком.

 
  В даний час існує гіпотеза, що пентаграма - первинне поняття,  а «золотий перетин» вдруге. Пентаграму  ніхто не винаходив, її тільки  скопіювали з натури.   Вид  п'ятикутної зірки мають п'ятипелюсткові  квіти плодових дерев і чагарників, морські зірки. Ті й інші  створіння природи людина спостерігає  вже тисячі років. Тому природно  припустити, що геометричний образ  цих об'єктів - пентаграма - стала  відома раніше, ніж «золота» пропорція.  
  «Лотаринзький хрест», який служив емблемою «Вільної Франції» (організація, яку в роки другої світової війни очолював генерал де Голль), складений з тринадцяти одиничних квадратів. Встановлено, що пряма, що ділить площа «лотаринзького хреста» на дві рівні частини, ділить його у золотому відношенні[15, с.63-70].

 

Звернемо увагу на пентаграму. Вона викликає зацікавлення багатьох людей.

Пентаграма і «Пентагон»

  Якщо в пентаграмі провести всі діагоналі, то в результаті ми одержимо добре відому нам п'ятикутну зірку. Доведено, що точки перетину діагоналей в пентаграмі завжди є точками золотого перетину діагоналей. При цьому ці точки утворюють нову пентаграму FGHKL. У новій пентаграмі можна провести діагоналі, перетин яких утворюють ще одну пентаграму, і це процес може бути продовжений до безкінечності. Таким чином, пентаграма ABCDE як би складається з нескінченного числа пентаграм, які кожен раз утворюються точками перетину діагоналей. Ця нескінченна повторюваність однієї і тієї ж геометричної фігури створює відчуття ритму і гармонії, яке не усвідомлено фіксується нашим розумом. Пентаграма викликала особливе захоплення у піфагорійців і вважалася їх головним розпізнавальним знаком. Будівля військового відомства США має форму пентаграми і отримало назву «Пентагон», що значить правильний п'ятикутник. 
  Послідовно відсікаючи від «золотих прямокутників» квадрати до нескінченності, кожен раз поєднуючи протилежні точки чвертю кола, можна отримати досить витончену криву. Першим увагу на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Він вивчав її і вивів рівняння цієї спіралі. В даний час «спіраль Архімеда» широко використовується в техніці. У гідротехніки по «золотої спіралі» згинають трубу, що підводить потік води до лопат турбіни. Завдяки цьому напір води використовується з найбільшою продуктивністю.

 
 
  Прямокутник з «золотим» відношенням  сторін стали називати «золотим  прямокутником». Він також володіє  цікавими властивостями. Якщо  від нього відрізати квадрат,  то залишиться знову золотий  прямокутник. Цей процес можна  продовжувати до нескінченності. А якщо провести діагональ  першого і другого прямокутника, то точка їх перетину належатиме  всім одержуваним золотим прямокутниках.  
 
 
  Окрім пентагона і пентаграми золоті відношення є і в правильних многогранниках. Правильний многогранник – це таких многогранник, всі грані якого рівні ті є правильними многокутниками. Ще в «Началах» Евкліда доведено, що існує п’ять видів правильних многогранників: тетраедр, гексаедр, додекаедр, ікосаедр. Геометрія додекаедра і ікосаедра тісно. Якщо взяти ребро певної довжини та об’єм, то вони легко виражаються через золоту пропорцію. Навколо многогранників можна описати три види сфер: перша (внутрішня) дотикається до граней, з радіусом Ri, друга дотикається до ребер, з радіусом Rm. Третя сфера (зовнішня), описана навколо тіла і дотикається до вершин, з радіусом Rс. Доведено: радіуси цих сфер для многогранників із ребром одиничної довжини виражаються через число золотого перерізу[5, с.85-100].