Застосування чисел Фібоначчі

  Інтерес людини до  природи призвів до відкриття  її фізичних і математичних  закономірностей. Краса природних  форм народжується у взаємодії  двох фізичних сил - тяжіння  та інерції. Золота пропорція  - це математичний символ цієї  взаємодії, оскільки виражає основні  моменти живого зростання: стрімкий  зліт юних пагонів змінюється  уповільненим зростанням «за  інерцією» до моменту цвітіння.  
  Аналіз сучасних програм освіти в таких країнах, як США, Канада, Росія та Україна, показує, що в більшості з них немає навіть згадки про «золотий перетин». Тобто, має місце свідоме ігнорування одного з найважливіших відкриттів античної математики. Можливо, причину слід шукати в негативному ставленні сучасної «матеріалістичної» науки і «матеріалістичного» освіти до астрології і так званим «езотеричним» наук. У них «золотий перетин» і пов'язані з ним геометричні фігури - «пентаграма», «Платонова тіла», «куб Метатрон» - широко використовуються як основні «сакральних» символів. І «матеріалістичний» освіта не знайшло нічого більш розумного, як викинути золотий перетин на звалище «сумнівних наукових концепцій» разом з астрологією та «езотеричними» науками. У результат більшість т.з. «Освічених» людей добре знають «теорему Піфагора», але мають дуже туманне уявлення про «золотий перетин».  
  В даний час досліджуються математичні теорії пов'язані з принципами «золотого перетину»: нова теорія гіперболічних функцій, нова теорія чисел, нова теорія вимірювання, теорія матриць Фібоначчі і так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорію кодування і нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з точки зору золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить у теорії нові й напевно дуже цікаві математичні результати. У практичному сенсі - «золоту» комп'ютеризацію. А оскільки «математика гармонії» істотно доповнить класичну математику, цілком можливо доведеться переглянути і всю систему сучасної математичної освіти[8, с.56-59].

«Золоті» проєкти

Перелік дисциплін, де використовується «золотий переріз»:

1. Теорія чисел. Нове «конструктивне» визначення дійсного числа, має «стратегічне» значення для розвитку теорії чисел
2. Теорія вимірювання. Як відомо, теорія вимірювання, заснована на аксіомах Евдокса-Архімеда і Кантора, є однією з фундаментальних теорій математики. У цьому зв'язку алгоритмічна теорія вимірювання, викладена в роботах автора представляє фундаментальний інтерес для розвитку математики.
3. Теорія систем числення. Створені в рамках Математики Гармонії системи числення з ірраціональними підставами або коди золотий р-пропорції є принципово новим класом систем числення, який перевертає наші уявлення про теорії систем числення, яка є однією з найбільш древніх математичних теорій.
4. Теорія елементарних функцій. Гіперболічні функції Фібоначчі та Люка є новим класом «елементарних функцій» і мають «стратегічне» значення для розвитку сучасної математики і теоретичної фізики. Можна очікувати появу наступних математичних теорій «космологічного" характеру з цього підходу:«Золота» геометрія Лобачевського; «Золота» геометрія Мінковського як «золота» інтерпретація спеціальної теорії відносності Ейнштейна.
5. Теорія чисел Фібоначчі. Математика Гармонії створює нові стимули для розвитку «теорії чисел Фібоначчі». Перш за все, поняття р-чисел Фібоначчі і р-чисел Люка значно розширюють клас рекурентних числових рядів. З іншого боку, гіперболічні функції Фібоначчі та Люка перетворюють теорію чисел Фібоначчі в «безперервну» теорію, що дозволять застосувати тут математичний апарат «безперервної» математики, зокрема, диференціювання та інтегрування. Нарешті, нова теорія формул Біне для р-чисел Фібоначчі і р-чисел Люка значно розширюють напрям «фібоначчіевих» досліджень.
6. Теорія матриць. Матриці Фібоначчі і «золоті» матриці, задаються, мають унікальні математичними властивостями. Ясно, що вивчення нового класу квадратних матриць («матриць з одиничним детермінантою») і пошук їх додатків в сучасній науці може стати цікавим напрямком в теорії матриць.
7. Фізика, кристалографія, астрономія. Аналіз літератури свідчить про підвищений інтерес сучасної теоретичної фізики, кристалографії і теоретичної астрономії до золотого перетину. Роботи Шехтмана, Бутусова, Mauldin і William, El Naschie, Владимирова та інших фізиків показують, що неможливо уявити подальший розвиток теоретичної фізики та космологічних досліджень без Золотого Перетину. У зв'язку з цим особливий інтерес представляє стаття проф. Ялина Нашіе, в якій показано, що всі основні фізичні константи можуть бути виражені через Золоту Пропорцію. Відомий російський фізик-теоретик проф. Владимиров Ю.С. закінчує свою книгу «Метафізика» наступними примітними словами: «Таким чином, можна стверджувати, що в теорії слабких взаємодій виникає співвідношення Золотого Перетину, яке відіграє важливу роль у різних сферах Науки та Мистецтва». 
   
8. Комп'ютери. «Арифметика Фібоначчі» і «золота» арифметика, викладені в численних публікаціях автора, зокрема, книзі «Коди Золотий Пропорції»  і статтях, можуть стати початком нових комп'ютерних проектів (перешкодостійкий процесор Фібоначчі, трійчастий Самоконтролюючою дзеркально-симетричний процесор і т.д.). 65 зарубіжних патентів, виданих патентними відомствами США, Японії, Англії, Німеччини, Франції, Канади та інших країн, є юридичними документами, що підтверджують пріоритет радянської науки в цій важливій комп'ютерної області.
9. Вимірювальні системи. Нова теорія вимірювання, цифровий метрології та «золотих» резистивних дільників, викладені в роботах автора, є теоретичною основою для створення «золотих» вимірювальних систем і пристроїв. Ефективність такого підходу підтверджена низкою інженерних розробок, виконаних під керівництвом автора у Вінницькому політехнічному інституті. Розроблений ще в 80-ті роки самокорректірующійся 18-розрядний АЦП для перетворення звукових сигналів на той період був однією з кращих розробок в цій області не тільки в СРСР, а й за кордоном.
10. Системи зв'язку. Вище показано, що матриці Фібоначчі і «золоті» матриці є математичною основою нової теорії кодування, яка може ефективно використовуватися для виявлення і корекції помилок і криптографічного захисту цифрових сигналів. Слід зазначити, що в останні роки значні результати в застосуванні золотого перетину і чисел Фібоначчі в теорії систем зв'язку отримані проф. Н.Ф. Семенюта (Гомель) і полковником С.А. Ясинським (Санкт-Петербург), автором книги «Прикладна« золота »математика і її застосування в електрозв'язку» (2004). 
    

 

2.2  Застосування  чисел Фібоначчі в теорії пошуку

Методи  Фібоначчі широко застосовуються в  теорії пошуку. 

Метод Фібоначчі є найкращим (в сенсі  максимального зменшення довжини  відрізка локалізації) серед активних методів пошуку. 
  Метод Фібоначчі застосовується для чисельного пошуку безумовного екстремуму. Потрібно знайти x для f (x) на інтервалі [a; b], де існує екстремум цієї функції, x повинен відповідати точці екстремуму. 
  Наша задача зводиться до пошуку, а завдання пошуку має три важливих аспекти: 
1. Нехай ми маємо право вчинити n послідовних визначень значення f, вибираючи кожного разу точку визначення за своїм розсудом. То виникають питання, в яких точках слід визначати значення функцій, щоб точка x визначалася з найбільшою точністю, і яка ця точність? 
2.Якщо ми хочемо визначити мінімізуючу функцію f в точці x із заданою точністю e. Скільки визначень значень функції f для цього необхідно виробити і як ці визначення організувати? 
3. В яких умовах дані можливості достатні для досягнення поставленої мети? Тобто необхідно вирішення кількох завдань. 
  Щоб побудувати метод одномірної мінімізації, який повинен працювати за принципом послідовного скорочення інтервалу невизначеності, потрібно задати правило вибору двох внутрішніх точок на кожному інтервалі. Для більш ефективного вирішення поставленого завдання необхідно, щоб одна з двох точок була внутрішньою для наступного інтервалу. При виконанні цієї умови кількість обчислень функції скоротитися вдвічі, в результаті одна ітерація вимагатиме розрахунку тільки одного нового значення функції[4, с.44-47]. 

  Метод Фібоначчі дозволяє скорочувати  інтервал невизначеності при  заданій кількості обчислень  функцій. Скорочення інтервалів  спирається на числа Фібоначчі. 
  Як правило метод Фібоначчі застосовується для унімодальних функцій. Це клас функцій, які досягають свого екстремуму x * на інтервалі [a0; b0], причому цей екстремум єдиний. При цьому функція зліва від x * убуває, а праворуч зростає. 

Якщо   a0<y<z<x*, то f(y)>f(z), але якщо x*<y<z<b0, то f(y)<f(z) (Малюнок 1.а). 

 

  

 

 

  

 

 

    Малюнок  1.Функция унімодальна. 

 

  Можна відзначити наступний факт: що безперервна суворо опукла вниз функція є унімодальної. Однак визначенню задовольняють функції не є безперервними і унімодального (мал.1б) [16, с.73-78].

Стратегия поиска точки экстремума

  У методі Фібоначчі  стратегія пошуку є послідовною. 
В першу чергу задається початковий інтервал, на якому невизначено положення точки екстремуму, а також якась кількість кроків обчислень функції. Для зменшення інтервалу невизначеності необхідно провести аналіз функції як мінімум у двох точках.

  Перше, потрібно обчислити функцію в двох точках поточного інтервалу. Так зване властивість унімодального, дозволяє визначити, в якому з інтервалів точка мінімуму відсутня.

  Якщо ми обчислимо значення функції в точках y і z на інтервалі [a; b] отримаємо f (y) і f (z). Далі будемо порівнювати значення цих функцій.

Якщо  f(y) > f(z), то x*  не належить інтервалу [a;y),  тому  x* буде належати інтервалу  [y;b]  (мал.2 а). Якщо ж f(y)<f(z), тоді x* не належить інтервалу (z;b] і тому x* належить  інтервалу [a;z] (мал.2 б). Якщо  f(y)=f(z) , то в якості нового інтервалу береться будь-який із зображених на малюнку 2 [1].

  

 

 

  

 

 

 

Малюнок 2. Зменшення інтервалу невизначеності. 

Точки обчислення функції  знаходяться за допомогою чисел  Фібоначчі. У даному методі на першій ітерації виробляється два обчислення функції, а на наступних ітераціях  по одному. Щоб отримати кінцевий результат  нам необхідно на певній ітерації перервати обчислення, тобто закінчити  пошук. Пошук закінчується, коли довжина  поточного інтервалу невизначеності виявляється менше встановленої величини[1, с.105-115].

 

 

 

2.3  Застосуваня  чисел Фібоначчі в природі

       «Золоту спіраль» також можна помітити в творах природи.  
 
  Наприклад, розташування насіння у кошику соняшнику. Вони шикуються уздовж спіралей, які закручуються як зліва направо, так і справа наліво. В один бік у середнього соняшнику закручено 13 спіралей, в іншу - 21. Відношення 13: 21 - ставлення Фібоначчі.У більших суцвіть соняшнику кількість відповідних спіралей більше, але відношення числа спіралей, закручуються в різних напрямках також дорівнює числу j.  
  Схоже спіральне розташування спостерігається у лусочок соснових шишок або осередків ананаса. За золотої спіралі згорнуті раковини багатьох молюсків, деякі павуки, сплітаючи павутину, закручують нитки навколо центру з золотим спіралях. Рогу архарів закручуються по золотих спіралях.  
  Природа повторює свої знахідки, як в малому, так і у великому. За золотим спіралях закручуються багато галактик, зокрема і галактика Сонячної системи.  
  Одним з перших проявів золотого перерізу в природі помітив різнобічний спостерігач, автор багатьох сміливих гіпотез німецький математик і астроном Іоганн Кеплер (1571 - 1630). З XVII ст. спостереження математичних закономірностей у ботаніки та зоології стали швидко накопичуватися [2, с. 50-52].  
  У 1850 р. німецький учений А. Цейзінг відкрив так званий закон кутів, згідно з яким середня величина кутового відхилення гілки рослини дорівнює приблизно 138 °. Величина середнього кутового відхилення гілки відповідає меншій з двох частин, на які ділиться повний кут при золотому перерізі.  
Наведені нижче приклади показують деякі цікаві додатки цієї математичної послідовності[14, с.45-49]. 
 
1. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметровий раковина має спіраль довжиною 35 см. Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Справа в тому, що ставлення вимірювань завитків раковини постійно й дорівнює 1.618. Архімед вивчав спіраль раковин і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслений по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

 
  
2. Рослини і тварини. Ще Гете  підкреслював тенденцію природи  до спіральності. Гвинтоподібне  і спиралевидное розташування  листя на гілках дерев помітили  давно. Спіраль побачили в розташуванні  насіння соняшнику, в шишках  сосни, ананасах, кактусах і т.д.  Спільна робота ботаніків і  математиків пролила світло на  ці дивовижні явища природи.  З'ясувалося, що в розташуванні  листя на гілці насіння соняшнику,  шишок сосни проявляє себе  ряд Фібоначчі, а стало бути, проявляє себе закон золотого  перетину. Павук плете павутину  спиралеобразно. Спіраллю закручується  ураган. Перелякане стадо північних  оленів розбігається по спіралі.  Молекула ДНK закручена подвійною  спіраллю. Гете називав спіраль  "кривою життя"[18, с.81-93]. 
  
Cреди придорожніх трав росте нічим не примітне рослина - цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий рівний 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотої пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігало певні пропорції. Імпульси його росту поступово зменшувалися в пропорції золотого перетину.

 
  
Ящірка живородна. У ящірці з першого  погляду уловлюються приємні  для нашого ока пропорції - довжина  її хвоста так відноситься до довжини  решти тіла, як 62 до 38. 

  І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи - симетрія щодо напряму зростання і руху. Тут золотий перетин проявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напрямку росту. Природа здійснила розподіл на симетричні частини і золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

  Багато математиків нехтували золотим перерізом і гармонією,бо не вірили в те, що світ – пропорційне ціле, що підкоряється закону гармонійного ділення – золотого перетину[19, с.62-71].  
  Закономірності "золотий» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття.  
  Все, що здобувало якусь форму, утворювалося, росло, прагнуло зайняти місце в просторі і зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному у двох варіантах - ріст нагору або розстеляння по поверхні землі й закручування по спіралі.  
  Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслені по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.  
  Серце б'ється безперервно - від народження людини до її смерті. Його робота повинна бути оптимальною, зумовленої законами самоорганізації біологічних систем. Відхилення від оптимального режиму викликають різні захворювання. А так як золота пропорція є одним з критеріїв самоорганізації в живій природі, природно припустити, що і в роботі серця можливий прояв цього критерію.  
  При роботі серця виникає електричний струм, що можна вловити спеціальним приладом і отримати криву - електрокардіограму (ЕКГ) з характерними зубцями, що відображають різні цикли роботи серця. На ЕКГ людини виділяються дві ділянки різної тривалості, відповідні систолічної та діастолічної діяльності серця. В. Цвєтков встановив, що у людини і інших ссавців є оптимальна («золота») частота серцебиття, при якій тривалості систоли, діастоли і повного серцевого циклу співвідносяться між собою в пропорції 0,382: 0,618: 1, тобто в повній відповідності із золотою пропорцією. Так, наприклад, для людини ця частота дорівнює 63 ударам за хвилину, для собак - 94, що відповідає реальній частоті серцебиття в стані спокою.  
  Систолічний тиск крові в аорті одно 0,382, а діастолічний - 0,618 від середнього тиску крові в аорті. Частка обсягу лівого шлуночка при ударному викиді крові по відношенню до конечнодиастолическому обсягу у десяти видів ссавців у стані спокою становить 0,37-0,4, що в середньому також відповідає золотий пропорції. Таким чином, робота серця у відношенні тимчасових циклів, зміни тиску крові та обсягів шлуночків оптимізовано за одним і тим же принципом - за правилом золотої пропорції [5, с.54-62].  
  Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи зі співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеної також за принципом золотої перетину. Леонардо Да Вінчі і Ле Корбюзье перед тим як створювати свої шедеври брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотий пропорції. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеними. Принцип розрахунку золотий заходи на тілі людини можна зобразити у вигляді схеми представленої нижче.  
 
 
 
M / m = 1,618  
 
Перший приклад золотого перерізу в будові тіла людини: 
Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентний числа 1.618 [3, с.37-45].

 Крім цього є і  ще кілька основних золотих  пропорції нашого тіла:

• відстань від кінчиків пальців до зап'ястя і від зап'ястя до ліктя одно 1:1.618
• відстань від рівня плеча до верхівки голови й розміру голови одно 1:1.618
• відстань від точки пупа до маківки голови і від рівня плеча до верхівки голови одно 1:1.618
• відстань точки пупа до колін і від колін до ступень одно 1:1.618
• відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів одно 1:1.618
• відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки одно 1:1.618
• відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки одно 1:1.618
• Золотий перетин в рисах обличчя людини як критерій досконалої краси.

 
  У будові рис обличчя людини  також є безліч прикладів, що  наближаються за значенням до  формули золотого перерізу. Проте  не кидайтеся відразу ж за  лінійкою, щоб обміряти імені  всіх людей. Тому що точні  відповідності золотому перетину, на думку учених і людей  мистецтва, художників і скульпторів,  існують тільки у людей з  досконалою красою. Власне точне  наявність золотої пропорції  в особі людини і є ідеал  краси для людського ока. 
 
  Наприклад, якщо ми підсумовуємо ширину двох передніх верхніх зубів і розділимо цю суму на висоту зубів, то, отримавши при цьому число золотого перерізу, можна стверджувати, що будова цих зубів ідеально. 
 
 
 
  На людському обличчі існують і інші втілення правила золотого перерізу [9, с.27-35]. Наведемо кілька таких співвідношень:

• Висота особи / ширина обличчя;
• Центральна точка з'єднання губ до основи носа / довжина носа;
• Висота особи / відстань від кінчика підборіддя до центральної точки з'єднання губ;
• Ширина рота / ширина носа;
• Ширина носа / відстань між ніздрями;
• Відстань між зіницями / відстань між бровами.

 
Рука людини  
 
Достатньо лише наблизити нині вашу долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перетину. Кожен палець нашої руки складається з трьох фаланг.  
 
Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця).  
 
Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнює числу золотого перерізу. 4  
  У людини 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двухфалангових великих пальців тільки 8 пальців створено за принципом золотого перетину. Тоді як всі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числа послідовності Фібоначчі.  
  Золотий перетин присутній в будові всіх кристалів, але більшість кристалів мікроскопічно малі, так що ми не можемо розглядати їх неозброєним оком. Однак сніжинки, також представляють собою водні кристали, цілком доступні нашому погляду. Всі вишуканої краси фігури, які утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури в сніжинки також завжди без винятків побудовані за досконалої чіткою формулою золотого перерізу [13, с.36-40].  
  Будова усіх що зустрічаються в природі живих організмів і неживих об'єктів, що не мають ніякого зв'язку і подібності між собою, сплановано за певною математичною формулою. Це є найяскравішим доказом їх усвідомленої створеного згідно якомусь проекту, задуму. Формула золотого перерізу і золоті пропорції дуже добре відомі всім людям мистецтва, бо це головні правила естетики. Будь-який твір мистецтва, спроектоване в точній відповідності з пропорціями золотого перерізу, являє собою довершену естетичну форму.  
  За цим законом Великого Божественного Творіння створені галактики, створені рослини і мікроорганізми, тіло людини, кристали, живі істоти, молекула ДНК і закони фізики, тоді як вчені і люди мистецтва лише вивчають цей закон і прагнуть наслідувати йому, втілювати цей закон у своїх творах.  
  Поза сумнівом, що все в нашому світі, у навколишньому нас життя створене Всевишнім Господом без будь-якого подоби. Тоді як люди тільки копіюють і наслідують прикладів, які існують у природі, які Він учинив.  
 
Ми лише відтворюємо з більшою або меншою мірою майстерності подоби досконалості форм життя, що оточують нас повсюдно.