Шпаргалка по "Финансовой математике"

№1 Проценты — это доход от предоставления капитала в долг в разных формах (ссуды, кредиты), либо это доход от инвестиций производного финансового характера. Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%). С позиции теории денег, процентная ставка — это цена денег как средства сбережения. Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, то есть, процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в кредит. Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками. При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря, , где P — исходная сумма; S — наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами); i — процентная ставка, выраженная в долях за период; n — число периодов начисления. В этом случае говорят о простой процентной ставке. При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря, S = (1 + i)ⁿP (при тех же обозначениях). В этом случае говорят о сложной процентной ставке. Различают номинальную и реальную процентную ставку. Реальная процентная ставка — это процентная ставка, очищенная от инфляции. Взаимосвязь реальной, номинальной ставки и инфляции в общем случае описывается следующей формулой: i_r = i_n − π где: i_n — номинальная процентная ставка; i_r — реальная процентная ставка; π — ожидаемый или планируемый уровень инфляции.

№2 Простыми процентами называют такой способ наращения, при котором % начисляются на первоначальную сумму. Наращение может осуществляться по схеме простых и сложных %. Наращение простых % означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV • r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле: FV = PV (1 + r • n). Областью применения простых % чаще всего являются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с однократным начислением % (краткосрочные ссуды, вексельные кредиты) и реже — долгосрочные операции. При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается годовая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денежных средств. Здесь применяется формула: FV = PV (1 + f • r), или FV = PV (1 + t • r / Т), где f=t/T; t    — срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т   — расчетное количество дней в году. 
 

№3 - 4 Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.  Можно определить продолжительность ссуды (N – срок) если задана первоначальная сумма P, конечная сумма SN и процентная ставка i. Из формулы Sn=P(1+ni) определяем срок по простым процентам: n=(S/P-1)1/I – продолжительность ссуды. Пример: Sn=10тыс; Р=2 тыс; i=0,1(10%) n=(5-1) 1/0,1=40тыс. Если известны срок N, первоначальной и конечной ссуды, то процентная ставка определяется по формуле: i=(Sn-P/P) 1/n. 
 
 
 
 
 
 
 
 

№ 5 Термин  дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению %: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P.    Расчет P по S необходим тогда, когда % с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления % и их удержание называется учетом, а удержанные % - дисконтом.   В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский  (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка. Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. P=S/1+ni,D=S-P, где D - дисконта. Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу % за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d. P=S-S n d=S(l-n d). Для ставки наращения  прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтиро-вании, обратная - в наращении. Ставка i прямая задача:S=P (l+n i); обратная задача: P=S/(l+ni). Ставка d прямая задача: P=S*(1-n*d); обратная задача: S=P/(1-nd). Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 %  уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

№6 Наращение по схеме сложных % означает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором %. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:  FV = PV (1 + r)ⁿ. Областью применения сложных % являются долгосрочные операции ( со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление %. При долгосрочных операциях с целым числом лет без внутригодового начисления % применяется след. формула: FV = PV (1 + r)ⁿ. В другом случае под внутригодовым начислением % понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:1) полугодовым (m = 2); 2) покварталь-ным (m = 4);3) ежемесячным (m = 12);4) ежедневным (m = 365 или 366); 5) непрерывным (m -» ?). Формула при таком наращении имеет следующий вид: FV = PV (1 + r / m)^nm, где  PV — исходная сумма;г   — годовая процентная ставка; n   — количество лет; m  — количество внутригодовых начислений; FV — наращенная сумма.

№7 В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление % возможно с использованием двух методов: общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных %: S = P(1+ i)n, n =a+b, где n – период сделки; a – целое число лет; b – дробная часть года. Cмешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления % использо-вать формулу сложных %, а для дробной части года – формулу простых %: Sn = P (1 + i)a • (1 + ib). Поскольку b < 1, то (1 + ib) > (1 + i)a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использова-нии смешанной схемы. В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления, % не начисляются, т.е. S = P • (1 + i)a

№8 В современных условиях % капитализируются не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д. При начислении % несколько раз в году можно воспользоваться  формулой , параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. В контрактах  фиксируется не ставка за период, а годовая ставка в % и указывается  период начисления %.Пусть годовая ставка равна j ,  а число периодов начисления в году  равно m. % начисляют по ставке j/m. Ставку  j  называют номинальной. Формулу наращения можно представить следующим образом: Эффективная ставка - это годовая ставка сложных %, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m : откуда При m>1,  эффективная ставка  ( i )  больше номинальной ( j ) при  m=1;  i=j. Замена в договоре номинальной ставки  j при  m-разовом начислении процентов на эффективную ставку  i не изменяет финансовых обязательств участвующих  сторон т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

№9 Если применить математическое дисконтирование по сложной ставке %, на основе получим , Величину    называют дисконтным множителем.  Для случаев, когда % начисляются m  раз в году, получим: , Величину  Р , полученную дисконтированием  S,  называют  современной стоимостью  S. Разность  S-P ,  в случае когда  Р  определено дисконтирова-нием,  называют  дисконтом ( D ).

№10 Если ссуда выдана на некоторый срок и % начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные % не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Формулу сложных % следует использовать для больших сроков инвестирования. Если требуется определить срок ссуды при известной процентной ставке и накопленной сумме Sn по сложным %, тогда из формулы Sn=Sn-1(1+i)=P(1 + i)ⁿ, определяем срок ссуды n: n=ln(Sn/P)/ln(1+i). Если известен срок ссуды n, накопленная сумма Sn и требуется определить необходимую процентную ставку, тогда из формулы: Sn=Sn-1(1+i)=P(1 + i)ⁿ следует: i=n√Sn/P-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№11 Под конверсией валюты понимается перевод финансовых активов из одной валюты в другую, - напр., перевод рублей в доллары или наоборот. В банке можно хранить деньги на рублевом или валютном вкладе. Обычно, процентные ставки по рублевым счетам выше, чем по валютным. Это связано с тем, что рубли обесцениваются  в связи с инфляцией быстрее, чем доллары, евро и др. Ответ на вопрос,  в какой валюте выгоднее хранить деньги в банке, зависит от процентных ставок по рублевому и валютному вкладам, а также от темпа изменения курса национальной валюты. В общем случае формула наращенной суммы с учетом конверсии валют по простым процентным ставкам имеет вид: Sn^руб.=Р^руб /К1^валют (1+ni ^валют)Кn ^валют  Формула наращивания по сложным % и конверсии валют имеет вид: Sn^руб.=Р^руб /К1^валют   Кn ^валют  (1+ i ^валют ) ⁿ Для срока в 1 год эти формулы дают одинаковые результаты: S1^руб.= Р^руб  К2^валют / К2^валют (1+ i ^валют).  

№ 12 формула наращенной суммы с учетом конверсии валют по простым процентным ставкам имеет вид: Sn^руб.=Р^руб /К1^валют (1+ni ^валют)Кn ^валют  Формула наращивания по сложным % и конверсии валют имеет вид: Sn^руб.=Р^руб /К1^валют   Кn ^валют  (1+ i ^валют ) ⁿ Банки стремятся устанавливать такие % ставки, чтобы вклады в различные валюты давали приблизительно одинаковый результат. Формула паритета процентных ставок в рублях и в валюте имеет вид: 1+ i ^руб = К2^валют/К1^валют(1+ i ^валют). Если % по вкладам начисляются m – раз в году и капитализируются по сложной % ставке, то накопленная сумма будет больше, чем больше количество начислении и определяются по формуле: S1=P(1+i/m)^m , Sn=P(1+i/m)^mn. Если Р=1000, i=0,12(12%), то 1) m=1(ежегодно); 2) m=4(ежеквартально); 3) m=12(ежемесячно); 4) m=365(межбанк), где 1) S1=1000(1,12)=1120; 2) S1=1000(1+0,12/4)⁴ =1125,6; 3) S1=1000 (1+0,12/12)¹² = 1126,8; 4) S1=1000(1 + 0,12/365)³⁶⁵ = 1127,5 При стремлении mà∞ например: при росте производства – непрерывно, то есть Sn=Ре ^bn , b=ln(1+i) – темп роста.   

№13Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой  форме является сбалансированность вложений и отдачи. Как правило, кредиты погашаются по частям в течение всего периода кредитования. Чаще всего используются ежемесячные выплаты. Есть два способа погашения: дифференцированными платежами и аннуитетными платежами. Дифференцированный платеж – каждый месяц погашается одинаковая часть тела кредита плюс %. Чем большую часть кредита вы погасили, тем меньше будет начисляться %. Размер ежемесячного платежа уменьшается к концу срока кредитования. Аннуитетный платеж – каждый месяц погашается часть кредита плюс %. Соотношение частей (погашение части кредита и проценты за кредит) подбирается таким образом, чтобы общий размер ежемесячного платежа был одинаковым за весь период кредитования. Формула ануитента получается из суммы геометрической прогрессии, в этом случае поток платежей в течении n – лет, постоянный, тогда накопленная сумма:  Sn=R/i[(1+i) ⁿ -1], пример: R=2000; i=0,1(10), тогда S5=2000/0,1[(1,1)5-1]=12200