Логические задачи

Ответ: (10; 60), (23; 38), (36;16). 

6.Правдолюбцы  и лжецы

Будем называть правдолюбцами тех людей, которые всегда говорят только правду, лжецами – тех, которые только лгут, и хитрецами – тех, кто  иногда говорит правду, а иногда лжёт.

Задача 1. На острове две деревни А и Б. Жители А – правдолюбцы, жители Б – лжецы. Жители А бывают в Б, а

                              20 

жители Б бывают в А. Приезжий встретил человека в одной из этих деревень и хочет выяснить, в какой деревне он находится. Как он может узнать это у встреченного им островитянина: а) за два вопроса; б) за один вопрос?

Решение: а) за два вопроса это сделать  легко. С помощью первого вопроса  приезжий должен узнать, кто перед  ним, - правдолюбец или лжец (например, «Как называется этот остров?», путешественник заранее знает верный ответ). Второй вопрос может быть прямолинейным: «Это деревня А?» В зависимости от того, кем оказался этот человек, приезжему следует верить или не верить его ответу на второй вопрос; б) сложнее выяснить истину за один вопрос. Подойдёт, например, такой вопрос: «Вы живёте в этой деревне?» Если встреча произошла в А, и правдолюбец, и лжец ответят «Да», а если в Б, то оба ответят «Нет». Но тогда справедливы и обратные утверждения: если приезжему ответили «Да», то это деревня А, а если «Нет», то это деревня Б.

Задача 2. На острове Буяне три деревни: Правдино, Кривдино и Середина-на-Половине. Жители Правдина – правдолюбцы, жители Кривдина – лжецы, а жители Середины-на Половине – хитрецы, но с причудой: одно из любых двух высказанных подряд ими утверждений истинно, а другое – ложно. Жители каждой деревни бывают в двух других деревнях. Однажды в пожарной части острова, где дежурный читал увлекательный роман, раздался телефонный звонок:

- Скорее  приезжайте к нам! У нас в  деревне пожар! – услышал он.

- В  какой деревне? 

                                    22 

- В  Середине-на-Половине,- был ответ.

Что должен делать дежурный – посылать ли пожарную команду и в какую  деревню?

Решение: рассмотрим три возможности.

1)пусть  звонил правдолюбец. Но это  противоречит тому, что звонивший  называет своей деревней Середину-на-Половине.

2)пусть звонил лжец. Тогда его утверждение «У нас в деревне пожар» ложно.

3)допустим, что звонил хитрец. В этом случае  его последнее утверждение, согласно  которому он называет своей  деревней Середину-на-Половине, истинно.  Но тогда его предыдущее утверждение  «У нас в деревне пожар»  ложно.

Получилось, что дежурный не должен посылать пожарную команду ни в одну из трёх деревень.

Ответ: читать роман дальше.

Задача3. (Истинные и ложные утверждения. Она близка к задачам о правдолюбцах и лжецах.) Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот установил, кто из них прекраснее всех. Они высказали следующие утверждения.

Афродита: Я самая прекрасная.

Гера: Я самая прекрасная.

Афина: Афродита не самая прекрасная.

Афродита: Гера не самая прекрасная.

                                    23 
 

Афина: Я самая прекрасная.

Парис предположил, что все утверждения  прекраснейшей из богинь истинны, а  все утверждения двух остальных  – ложны. Считая это предположение  истинным, определите, кто прекраснейшая  из богинь.

Решение: рассмотрим три возможности.

1)пусть  прекраснейшей из богинь является  Гера. Тогда её высказывание истинно,  а все утверждения двух других  богинь ложны. Но, с другой стороны,  получилось, что первое утверждение  Афины истинно. Мы пришли к  противоречию.

2)пусть  прекраснейшая из богинь –  Афина. Тогда оба её утверждения  истинны, а все утверждения  двух других богинь ложны. Но  это противоречит тому, что второе  утверждение Афродиты оказалось  истинным.

3)пусть  прекраснейшей из богинь является  Афродита. В этом случае оба  её утверждения истинны, а остальные  – ложны. Здесь противоречия  нет.

Ответ: Афродита.

Задача 4. Андрей и Борис разговаривали о предстоящей контрольной работе по математике. Андрей сказал: «Если я справлюсь с работой, то ты с ней тоже справишься». Борис ответил: «А если я не справлюсь с работой, то и ты с ней не справишься». Докажите, что во время этого разговора или оба говорят правду, или оба лгут.

Решение: обозначим через А утверждение «Андрей справится с работой», а через В – утверждение «Борис справится с работой». Тогда Андрей сказал: «Если А истинно, то В истинно». Короче символично: АВ. Аналогично Борис

                                    24 

сказал: «Если В ложно, то А ложно». Короче символично: не В не А. Допустим, что утверждение не В истинно, то есть В ложно. Но тогда и А ложно, так как если бы А было истинно, то на основании истинности предложения АВ получилось бы, что и В истинно – противоречие. Итак, из истинности предложения АВ следует истинность предложения не Вне А. аналогично доказывается, что из истинности предложения не Вне А следует истинность предложения АВ. Этот случай отличается от первого только обозначениями. Итак, можно сделать вывод: из ложности любого из этих двух предложений следует ложность другого.

Фактически  мы доказали, что предложения АВ и не Вне А равносильны. Символическая запись этого предложения:     (АВ)(не Вне А).

Таким образом, чтобы из данного предложения, имеющего условие и заключение, получить равносильное ему предложение, нужно  поменять местами в нём условие  и заключение и в полученном предложении условие и заключение заменить их отрицаниями. Это утверждение называется законом контрапозиции. 

7.Правило  крайнего

При решении некоторых задач следует  рассмотреть крайний случай. Естественнее всего такая ситуация возникает  тогда, когда нужно найти число  элементов конечного множества, а ответ неоднозначен. Далее, если нас интересует некоторое свойство элементов числового множества, то полезно изучить, справедливо  ли оно для наибольшего или  наименьшего элемента множества (при  условии, что 

                                    25 
 

наибольший  или наименьший его элемент существует). Если речь идёт о множестве точек  плоскости, то бывает целесообразно  рассмотреть крайнюю левую (или  правую, или верхнюю, или нижнюю) точку этого множества.

Задача 1. Из 100 кубиков 80 имеют красную грань, 85 – синюю, 75 – зелёную. Сколько кубиков имеют грани всех трёх цветов?

Решение: сначала определим максимальное число кубиков, имеющих грани всех трёх цветов. Оно равно 75 и достигается в том случае, когда каждый из 75 кубиков, имеющих зелёную грань, имеет также красную и синюю грань. Сложнее подсчитать минимальное число таких кубиков. Пойдём обходным путём. Не имеют красной грани 100-80=20 кубиков, синей – 15, зелёной – 25. Сложим полученные числа: 20+15+25=60. Что выражает число 60? Это максимальное число кубиков, не имеющих грани всех трёх цветов. Достигается этот максимум в том случае, когда три множества, которые состоят из 20, 15 и 25 кубиков, не имеют попарно общих элементов. Значит, минимальное число кубиков, имеющих грани всех трёх цветов, равно 100-60=40. Итак, искомое число n кубиков удовлетворяет неравенству 40n75. Строго говоря, нужно ещё проверить, что каждый из случаев n=40, 41, 42,…,75 возможен. Когда реализуются крайние случаи n=40 и n=75, мы уже видели.

Ответ: 40n75.

Задача 2. В каждой вершине 8 – угольника записано число, причём каждое такое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в двух соседних вершинах. Могут ли среди 8 написанных чисел быть различные?

Решение: допустим, что среди этих 8 чисел  имеются 

                              26 

различные. Обозначим через а наименьшее из них (если таких чисел несколько, возьмём любое из них), а через b и с – числа, записанные в  двух соседних вершинах. Тогда, а, ас. Сложим неравенства почленно: 2а+с, а . Но последнее неравенство должно по условию превратиться в равенство. Это возможно, если, а = = с. Аналогично остальные 5 чисел, равным первым трём.

Ответ: не могут. 

Заключение

В ходе исследований  было охарактеризовано понятие «задачи логического  характера» (среди них много задач, имеющих необычную формулировку, неожиданное решение, иногда довольно простое, но требующее значительных умственных усилий, что способствует развитию математической интуиции, нестандартному мышлению), по ходу их решения они были систематизированы по темам, методам решения (их перечень наблюдается в содержании) и расположены в порядке усложнения их решения.

Курсовая  работа с точки зрения её содержания соответствует целям и задачам, поставленным в начале исследования. 
 
 
 
 

                              27 

Библиографический список

1. Б.А.Кордемский «Математическая смекалка» // «Гос.изд.физико-матем.литературы» - М. 1959
2. Мартин Гарднер «Математические головоломки и развлечения» // «Оникс» - М. 1994
3. Дьюдени Г. «Пятьсот двадцать головоломок: пер. с англ.» - М.: Мир, 1975
4. Леман И. « Увлекательная математика: пер. с нем.» - М.: Знание, 1985
5. Перельман Я.И. «Живая математика: математические рассказы и головоломки» - М.: Наука, 1978
6. Всероссийские математические олимпиады школьников: книга для учащихся/ Г.Н.Яковлев, Л.П.Купцов, С.В.Резниченко, П.Б.Гусятников. – М.: Просвещение, 1992
7. Галкин Е.В. «Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера» - «Просвещение» - «Учебная литература» - М. 1996