Логіка та математика

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ,  
МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ  НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«КИЇВСКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ІМЕНІ ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

 

 

 

 

 

 

Реферат

 

«Логіка та математика»

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконав: студентка 1 курсу 
-ї групи, спеціальності 650 
денної форми навчання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Київ 2012

 

 

 

 

 

План

Вступ

1. Логіка і  математика як два метода пізнання

2. Співвідношення математики і логіки

3. Висновок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ 

          Математична логіка займає одне з найважливіших місць у сучасній математичній науці. Вона знайшла широке застосування в найрізноманітніших галузях наукових досліджень. Математична логіка з великим успіхом використовується в теорії релейно-контактних схем і в теорії автоматів, тобто в кібернетиці, в лінгвістиці, в економічних дослідженнях, у фізіології мозку і психології тощо.

Математична логіка дуже важлива для вчителів математики. Вона дає можливість краще зрозуміти  структурно-логічну схему шкільного  курсу математики, глибше вникнути в суть поняття доведення, з’ясувати зміст поняття логічного слідування, встановити зв’язки між різного роду теоремами тощо. З цих причин Я й обрав дану тему для написання курсової роботи. На мою думку ця тема є важливою в математиці. Тому що розвиток математичної логіки як науки дав значний вплив у розвитку математичної науки. Значну внесок у розвиток математичної логіки зробили такі вчені як: Платон, Аристотель, Лейбніц, Буль, Гільберт.

Історично математична  логіка будувалась як алгебраїчна теорія, у якій зв’язки між різними  поняттями логіки виражалися за допомогою операцій. Така побудова математичної логіки згодом дістала назву алгебри висловлень і алгебри предикатів, причому алгебра висловлень уходить як частина в алгебру предикатів. Вона називається також змістовною побудовою математичної логіки і нею часто вичерпується виклад математичної логіки, причому апарату логіки предикатів достатньо, щоб ставити і розв’язувати досить важливі й складні задачі. Поряд з потребою змістовної побудови математичної логіки виникла потреба будувати математичну логіку як формально-аксіоматичну теорію, для якої алгебра предикатів є однією з можливих інтерпретацій.

 

 

  1. Логіка і математика як два метода пізнання

    Термін логіка переводиться як мова, виголошене слово; даний термін пов'язаний з дієсловом говорити. У піфагорійців зворотна дія - чути - породжувало почуте слово, що відбивалося терміном акусма.Проте в міркуваннях акусматиков присутні елементи формально-логічного виводу, а виведення логіків завжди спирається на авторитет посилок. Виголошене слово і почуте знаходилися в опозиції до третього терміну - математика.

 

 Слово математика раніше означало науку взагалі і глибоке пізнання всякого предмету. основні математичні терміни — гіпотеза, теорема і теорія - апелюють, перш за все, до уяви, на що завжди спирався і спиратиметься конструктивний пошук.

     Математика  - це щось зриме, логіка - щось висловлене, а акусматика - щось почуте. Математиків всі знання отримували переважно через вистави; логіки - через поняття, а акусматики - через заклинання. У цьому трійковому діленні схоплена, мабуть, основна і найперша відмінність між раціонально-конструктивною, формально-феноменологічною і релігійно-містичною. 

    Логіки і акусматики  всі свої знання виражали в  словесно-символічній формі, часто  в дуже претензійною, поетичною і релігійною; математики ж повинні самі конструювати свої вистави, тобто займатися раціональнішою і прозаїчнішою працею. Понятійний спектр має дві крайнощі у вигляді простого символу і філософського принципу. Чистими символами оперують звичайно містиків. Так, піфагорійці як символи вибрали для себе числа, прибічники каббалы - букви, але перед першими лежить все ж реальний світ, а перед другими - «священні тексти», тому піфагорійці по мірі ідеалізації світу наближаються до платоніків, а каббалисты займають виключно ірраціональну позицію, що змикається з позицією богословів.   

     Логики- періпатетіки і акусматики-пифагорейцы відрізняються від конструктивних математиків тим, що перші тяжіють до схоластичної манери повчати, другі - до містичної манери слухати; як ті, так і інші - формалісти- феноменалісти, що оперують логічними дефініціями, філо-софськими принципами, політичними деклараціями, юридичними нормами, церковними заповідями, священними заповітами. 

     За допомогою  конструктивної математики пізнається об'єктивний світ; за допомогою формальної логіки упорядковуються думки і феномени, дані нам у відчуттях; за допомогою заклинань вдовблюються помилкові поняття і вистави, що мають переважно ірраціональний, емоційно-плотський статус, блокуючий волю індивідуума і що визначає його механічну неусвідомлювану поведінку. Останній тип эпистемологии носить відверто релігійні і містичні форми, має мало загального з раціональною наукою, тому ми не розглядаємо його самостійно, але лише як продовження формально-феноменологічної эпистемологии, як її крайню форму. 

     Логіка і  математика у відомому сенсі  протистоять один одному. Предметом  логіки є мислення суб'єкта, яке розвертається в часі, лінійно і послідовно; предметом математики є незалежна від мислення структура об'єкту, яка існує як деяка просторова даність вся цілком. У такому цілісному вигляді математична структура не може проникнути в нашу свідомість і має бути послідовно деструктурирована. Ця місія лежить на логіці; можна сказати, що через логіку суб'єкта стає доступна математика об'єкту. Тому було б правильно всю математику, як науку про кількісні стосунки і просторові форми, розмежувати на два відділи, де окремо викладалися б конструктивна або пошукова математика і доказова або освітня математика; остання і буде пов'язана з логікою. Конструктивна математика обернена на об'єкт, формальна - на суб'єкт. 

     Помилка конструктивіста-  математика - це недопустима розбіжність між об'єктом і його моделлю; помилка формаліста-логіка - це протиріччя усередині формальної системи, яке жодного відношення до об'єктивної реальності не має, оскільки він оперує лише символами дійсного світу.

     Логічні системи завжди виявляються консервативними і несприйнят-ливими до вдосконалення. Обережні формалісти, що постійно озираються назад, схильні будувати гігантські системи, що складаються наполовину з приміток і доповнень. Безперервно замазуючи щілини і законопачувавши діри, формалісти невпинно шліфують і лакую опори будівлі свого незмінного догмата, що несуть, ні за що не погоджуючись на їх демонтаж. Навіть сам формальний апарат логіки за два з половиною тисячоліття своєї історії зазнав украй незначні зміни, причому поверхневого характеру. Тим часом апарат конструктивної математики протягом порівняльний короткого часу випробував швидкі і радикальні зміни.

     Отже, математика  тяжіє до конструктивної теорії, а логіка - до поверхневої феноменології, експерименту або емпіричних даних. Будь- який формаліст схильний до недооцінки модельних побудов і переоцінки фактів; конструктивіст же, навпаки, надзвичайно захоплюється просторовою механікою і вважає всякі дослідні дані даремними, поки вони не придбали яку-небудь, хай саму попередню теоретичну платформу. В результаті розставляння цих пріоритетів, у формаліста досвід завжди переважає над теорією; у конструктивіста, навпаки, досвід, а значить, практика і прагматичні цілі вирушають на другий план, головними для нього стають знання ради самих знань, істина в ім'я самої істини. 

     Математика  надає деякі кількісні стосунки, виражені рівнянням або тотожністю, тобто певною формою еквівалентності. При переході від лівої частини рівняння до правої не відбувається приросту принципово нового знання: та інформація, яка міститься в його лівій частині, міститиметься і в правій. Проте перш ніж вкласти інформацію в ліву частину рівняння, її потрібно побачити, тобто вона добувається органами зору, а не мови або слуху. Справжній доказ пов'язаний лише з безпосереднім баченням, але ніяк не з декларуванням слів. Математика завжди є більш ніж сукупність спеці-альних символів і термінів; вона виходить далеко за рамки деякої умовної мови. Поважно, що математика за допомогою символів здатна представляти і моделювати дійсність - в цьому її основне призначення. Існування матема-тичного факту можна вважати встановленим, якщо отримана відповідна йому конструкція, часто у вигляді формул, таблиць і малюнків. Складна, важкодоступна істина встановлюється на основі простій, відкритої істини, деякої візуальної даності. Перш ніж реальність буде представлена у вигляді математичних формул і геометричних креслень, вона має бути описана за допомогою наочної просторово-механічної моделі; саме на основі конкретного образу виробляються всі необхідні обчислення. Модель теж може бути неадекватна реальності, лише природа математичних помилок істотно інша, чим логічних. 

     Логічний вивід підкоряється відношенню порядку, який виражається словосполуками: «якщо А, те В», «А вабить В», «В, тому що А». Замість букв А і В ми можемо підставити C і D або будь-які інші букви, тобто логіка спочатку і принципово має справу лише з символами реальності, але не з найоб'єктивнішою реальністю. Вона упорядковує думки суб'єкта, але не зовнішні об'єкти, і правильність дедуктивного виводу ще не гарантує істинності знань про реальний світ, оскільки в буквеній ідентифікації реальних предметів може бути допущена помилка.

     Логіка - це наука про докази. Під доказом розуміють логічно обгрунтований формалізм і, таким чином, теорія доказу стає розділом логіки, що вивчає різного роду думки або висновку. При доказі тієї або іншої істини ми завжди маємо на увазі когось іншого; для нас самих доводжуване завжди представляється чимось очевидним. Таким чином, логіка є переконливий засіб передачі інформації від людини до людини, отже, логіка є особлива мовна форма. У дуже малій мірі вона апелює до зорового образу і реального предмету: лише символи об'єктів і лише дії над цими символами відносяться до предмету логіки; реальний світ виявляється поза увагою цієї науки. Кого не обурювали виключно формальні виводи логіків-юристів або логіків-учених, які еквілібристикою слів доводили щось таке, що абсолютно не відповідало дійсності.  Логіка дуже ревниво відноситься до формування понять, можна сказати, що вона лише цим і зайнята. Вона може давати собі високопарні визначення: «наука про докази» або «наука про правильні висновки», але велика частина її завжди доводилася на довгі і нудні думки про імена, значення, визначення і класифікації величезної кількості слів, почерпнутих з життя або різних галузей знань, на зразок релігії, моралі і права. Логіка з часів Зенона Елейського прагнула включити як частковості арифметичні і геометричні об'єкти, але останні цій близькості наполегливо чинили опір. По апорії Зенона «Ахілл і черепаха» протистояння між математикою і логікою особливо помітно. Ще більші претензії логіка поширювала на природознавство. Оволодівши біологічною класифікацією і описом тваринних і рослинних форм, вона загордилася, що це і є справжня наука. Але конструктивні вистави не сумісні із складанням класифікацій детермінованих свідомістю форм; систематизація знань - це найперша форма природознавства, яка більше сковує, чим сприяє його розвитку. Класифікація передбачає опис по пологах і видах, але поглянете, наприклад, на астрономію, яка тут може бути підлеглість? Її немає, принаймні, в тій формі, в якій підлеглість існує в логіці.

    Логіка не є строгою наукою в тому сенсі, що її застосування до аналізу реальних ситуацій не може бути однозначним. Вона покликана класифікувати і ранжирувати наші вислови про реальність, намагається зробити зрозумілим наша мова для тих, що оточують. Логіка упорядковує потік понять, які ніколи не були, - ні в древні часи, ні в нинішніх - первинним продуктом мислення, тобто тим передовим фронтом інтелектуальної діяльності, який освоює невідомий світ. У поняттях здобуті індивідуальною свідомістю вистави поширюються усередині суспільства і, як це зазвичай буває при кодуванні, трансляції і декодуванні, вихідна образна інформація істотно спотворюється. Бажано спекулятивні міркування логічного характеру замінити строгими математичними обчисленнями конструктивного характеру. Тим самим ловляться відразу два зайці: нові знання отримують обгрунтування і при цьому, як правило, закладається фундамент для зведення нових конструктивних моделей.

     

 

 

 

 

 

  2. Співвідношення математики і логіки.

            Щоб правильно поставити саме  питання про співвідношення  математики  і логіки, необхідно, очевидно, розглянути його  в історичній  перспективі. Ця обставина не ігнорує і сам Б.  Рассел.  "Математика  і логіка, - пише  він, -  історично кажучи,  були   цілком   різними   заняттями. Математика зазвичай асоціювалася з природознавством, логіка - з греками.  Але обоє розвинулися нині:  логіка  стала  більш  математичною,  а математика - логічнішою. Наслідком  цього  є  те,  що  заразстало  зовсім  неможливо  провести  розмежувальну  лінію  між   ними: фактично вони стали єдиним дослідженням. Вони відрізняються один від одного  также, як хлопець від чоловіка: логіка є  юність  математики,  а  математика  - зрілість логіки". У цьому уривку Рассел справедливо підкреслює  тісна  взаємодія між  математикою  і  логікою  в процесі   їх   історичного   розвитку що виявилося  з  особою  силою  в  нашому  столітті.  Саме  через   це виявляється  дуже  важким  вирішити,  яка  з  цих.   наук   генетично передувала  іншій.  Багато  фахівців   схиляються   до   думки,   що математичне знання принаймні в напівемпіричній формі  існувало задовго до того, як були відкриті правила  дедуктивних  міркувань.  Раніше чим  грецькі  геометри  стали  логічно   систематизувати   результати знайдені  їх  попередниками  -  єгиптянами,  повинна  быжа  існувати досить  розвинена  сукупність  математичних   знань,   безпосередньо пов'язаних з різними обчисленнями і вимірами. З іншого боку,  важко допустити, щоб при отриманні цього  знання  не  застосовувалися  ті  або  інші принципи пізніші за виниклу логіку.

       Застосування  логічних  правил  міркування  не можна  ототожнювати   з

обгрунтуванням  і подальшою розробкою цих  правил. Людина,  не  знайомий  з логікою, може  проте  міркувати  правильно,  тобто  приходити  до істинним ув'язненням. Зрозуміло, тільки у греків математика перетворилася  на систематизоване наукове знання, стала теоретичною  наукою,  в  якій широко використовувалися  не лише  дедуктивні  міркування,  але і  пізніше виниклий аксіоматичний метод.

      Усе це показує, що генетично  логіка навряд чи  могла   виникнути раніше математики. В усякому разі, якщо говорити про  ясно  сформульованих принципах дедуктивних  міркувань  і  їх  використанні  і  математиці,  то уперше вони були  розвинені  грецькими  філософами.  Арістотель  і  стоїки  в значній мірі удосконалили і систематизували  ці  принципи,  такщо їх робота представляє швидше не початок, а завершення тривалого  етапу численних досліджень в цій області, висхідних ще до VI ст. до н. е.