Логіка та математика

   

    З  філософської точки зору при  вирішенні питання про співвідношення  логіки  і математики істотнішими є аргументи, що відносяться не стільки  до технічній стороні самих деталей дедукції математики з логіки,  скільки  до з'ясуванню спільності і відмінності їх  об'єктів  дослідження.  предметом  вивчення  сучасної   математики являються різні абстрактні  форми  і  структури,  які  мають  ту особливістю,  що  у рамках   математичного   дослідження   вони   можуть розглядатися незалежно від конкретного змісту предметів і  процесів яким властиві  ці  форми  і  структури.  Простими  з  таких  структур являються  кількісні  стосунки  і   просторові   форми,   які вивчаються  в  елементарній  і  вищій  математиці.  В процесі  подальшого абстрагування і узагальнення виникають нові  складніші  структури  і  їх комбінації, які були названі абстрактними структурами.  Такі  структури виявляються застосовними для вивчення не лише стосунків  між  величинами числами і звичайними просторовими  фігурами,  але і  об'єктів  абсолютно  іншої  природи.  З  їх  допомогою  можна  досліджувати,   наприклад,   логічні стосунки між висловлюваннями і аналізувати теорію  дедуктивного  виводу як це робиться в математичній логіці.

     При розгляді питання про співвідношення  логіки  і  математики  нерідко виникають непорозуміння через неоднозначність використання  самого  терміну "логіка".

нерідко  під  логікою  розуміють  застосування  математичних методів для побудови формальної  теорії  дедуктивного  виводу.  Для цього зазвичай  будуються  різні  формально-логічні  системи,  або  мови,   з допо-могою яких виявляється можливим точно виразити логічні  взаємозв'язки між висловлюваннями в процесі  виводу.  Оскільки  при цьому  висловлювання розглядаються як деякі  дискретні  об'єкти,  то  в принципі  цілком допустимо інтерпретувати формальні  системи, що відображують  їх, з  допомогою об'єктів нелогічної природи. Добре  відомо,  наприклад,  що  числення вис-ловлювань інтерпретується за допомогою  релейно-контактних  схем  і  інших технічних пристроїв. Цей приклад показує,  що  в даному випадку  мова дійсно  йде  про  застосування  деяких  загальних  формальних  методів  до логіці. Тому абсолютно справедливо така галузь  досліджень  отримала назва математичної логіки.

         Яку ж логіку мають на увазі Рассел і його послідовники, коли говорять про дедукцію з неї чистої математикит   ому коли  вони  говорять про логіку, то мають на увазі під нею математичну логіку,  представлену  в виді формалізованої  логіко-математичної  системи.

 

     У  60-і роки відомий американський  логік і математик  Алонзо  Черч  на Стэнфордском конгресі з логіки, методології і  філософії  науки  запропонував новий  варіант  логіцизму,  який  можна  назвати  помірним  ло-гіцизмом". Радикальний  логіцизм,  на думку  Черча,  характеризує  від-ношення   між  логікою і математикою, виходячи з двох основних принципів:

     1) усі математичні поняття можуть бути визначені в термінах  чисто логічних понять або,  як  вважає  за краще говорити  Черч,  "математичний словник є частина логічного словника";

     2) усі математичні пропозиції  (аксіоми,  постулати)  можуть  бути виведені  з  чисто  логічних  законів  за допомогою  використання   чисто логічних способів міркування.

      Черч вважає,  що  другий  принцип  радикального  логіцизму  виявився неспроможним і тому  математикові  не можна  розглядати  буквально  як частина логіки. Що стосується першого принципу, то він схиляється до думки,  що твердження  про  те,  що  математичний  словник  є  частина  логічного словника, підтверджується усім ходом досліджень  по  підставах  математики.

     Така  заява,  хоча і  не  говорить  про  те,  що  математика  буквально складає  частину  логіки,  але  воно  встановлює  первинність  логіки   по відношенню до математики в сенсі передування.  Це  означає,  що  ніякий математичний  термін,  твердження  і   доказ   не   можуть   бути осмис-леними, якщо не будуть осмислені відповідні  логічні  терміни. Оскільки зво-ротне не має місця, то в строгому сенсі тут можна говорити про первинність логіки по відношенню до математики тільки в сенсі  обгрунтування тобто логіка потрібна для побудови математики.

 

     Интуиционисти вважають логіку частиною математики, а її принципи найбільш загальними теоремами математики. Логіка  не  може  служити  під-ставою математики,  навпаки,  вона   представляє   концептуально   усклад-нену   і витончену частину математики". Відношення між логікою і мате-матикою, по  його думці,  приблизно  таке  ж,  як  відношення  між  приватними   і   загальними затвердженнями  математики.  Нo  не  всяке  за-гальне   затвердження   математики відноситься до логіки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Висновок

       

     Про односторонній вплив математики на логіку говорити важко, це спірне питання. Упродовж багатьох віків йшли суперечки про це. Отже, традиційна логіка істотно відрізняється від математичної логіки. Для більшості наук математика має майже таке ж значення, як і логіка. Основна роль математики в науках лежить в побудові і аналізі математичних моделей. Обробка і аналіз експериментальних результатів, побудова гіпотез і вжи-вання наукових теорій в практичній діяльності вимагає використання мате-матики. Як наука, математика розглядається як окрема наукова дисципліна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Викорастанна  література

1. Капітонова Ю. В., Кривий С. Л., Летичевський О. А., Луцький Г. М., Печурін М. К. Основи дискретної математики. - К.: Наукова думка, 2002.
2. Середа В. Ю., Математична логіка в шкільному курсі математики. – К.: Радянська школа, 1984.
3. Мендельсон 3. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1971.