Четырехугольник

Четырехугольник.

 
Четырехугольник - геометрическая фигура с четырьмя сторонами. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырехугольника. 
 
На рисунке изображен четырехугольник. Четырехугольник обозначается указанием его вершин, причем рядом стоящие в обозначении вершины должны лежать на одной стороне. Сторонами четырехугольника являются отрезки АВ, ВС, СЕ и ЕА, вершинами - точки А, В, С и Е, углами - ©А, ©В, ©С и ©Е. Стороны АВ и ВС являются соседними сторонами, а углы ©В и ©С - соседними углами. Стороны  АВ и СЕ - противоположные.  
Если четырехугольник лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую из его сторон, то он называется выпуклым. 
Отрезок АС называется диагональю данного четырехугольника, так как содержит две противолежащие вершины.  
В предыдущей главе предметом нашего рассмотрения были треугольники и их свойства. В настоящей главе мы изучим свойства четырехугольников. Заметим, что если мы разобьем четырехугольник на треугольники с помощью диагоналей, то сможем применить известные нам свойства треугольников для описания свойств четырехугольников. Следующие определения описывают несколько специальных видов четырехугольников.

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны. 
 
Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые.

Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. 
 
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. 
 
Противоположные стороны параллелограмма равны. 
 
Противолежащие углы параллелограмма равны.

Соседние углы параллелограмма  дополняют друг друга до 180». 
 
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 
 
Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны, то четырехугольник - параллелограмм. 
 
Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, то четырехугольник - параллелограмм. 
 
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм. 
 
Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.  

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны. 
 
Так как ромб является параллелограммом, то для него справедливы все свойства параллелограмма. Таким образом, все теоремы, сформулированные в предыдущем разделе для параллелограммов, верны также и для ромбов. Кроме того, по определению все стороны ромба равны. Далее мы приведем две теоремы, которые характеризуют дополнительные свойства ромбов.

Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда  его диагонали пересекаются под  прямым углом.

Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда  его диагонали являются биссектрисами  его углов.   

 Прямоугольники и квадраты.

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые. 
 
Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.

Параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны. 
 
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. 
 
Свойства четырехугольников:

1. Пусть ABCE параллелограмм, тогда: 
  a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника 
  b) Противолежащие стороны равны 
  c) Противолежащие углы равны 
  d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

2. Пусть ABCE прямоугольник,  тогда: 
  a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника 
  b) Противолежащие стороны равны 
  c) Противолежащие углы равны 
  d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 
  e) Диагонали равны

3. Пусть ABCE ромб, тогда: 
  a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника 
  b) Противолежащие стороны равны 
  c) Противолежащие углы равны 
  d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 
  e) Диагонали перпендикулярны 
  f) Все стороны равны 
  g) Диагонали ромба делят его углы пополам

4. Пусть ABCE квадрат,  тогда: 
  a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника 
  b) Противолежащие стороны равны 
  c) Противолежащие углы равны 
  d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 
  e) Диагонали равны 
  f) Диагонали перпендикулярны 
  g) Диагонали квадрата делят его углы пополам 
  h) Все стороны равны    

 Трапеция.

Трапеция, у которой  боковые стороны равны, называется равнобокой. 
 
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. 

На данном рисунке  изображена равнобокая трапеция ABCE. Параллельные стороны, BC и AE, являются основаниями. AB и CE - равные боковые стороны.

Следующие теоремы  описывают свойства равнобоких  трапеций.

В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Диагонали равнобокой трапеции равны.

Средняя линяя трапеции: отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна  их полусумме.  

 Многоугольники.

Многоугольник - геометрическая фигура с несколькими сторонами.  
 
Многоугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех или более отрезков, лежащих в одной плоскости; каждый отрезок пересекает ровно  два других отрезка в их концах, которые являются концами данного отрезка; никакие два пересекающихся отрезка не лежат на одной прямой. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.      

  Названия многоугольников.

3 стороны   треугольник               8 сторон    восьмиугольник 
4 стороны четырехугольник         9 сторон    девятиугольник 
5 сторон    пятиугольник              10 сторон   десятиугольник 
6 сторон    шестиугольник           20 сторон   двадцатиугольник 
7 сторон    семиугольник              n  сторон   n-угольник  

 Выпуклый многоугольник  называется правильным, если у  него все стороны равны и  все углы равны. 

Сумма углов выпуклого n-угольника равна  (n - 2)ј180». 

 Внешним углом  выпуклого многоугольника при  данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника  при этой вершине. У n-угольника  2n внешних 
углов. 

Сумма всех внешних  углов выпуклого многоугольника равна 720». 

Градусная мера любого внешнего угла правильного n-угольника  равна 360»/n. 

 Градусная мера  любого внутреннего угла правильного  n-угольника равна  (n - 2)180»/n. 

Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон. Для того, чтобы найти периметр прямоугольника необходимо сложить длины всех его сторон.

Свойства

• Сумма углов  четырёхугольника равна 2 π = 360°.
• Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° ( ). См. также теорема Птолемея.
• Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ( )
• Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
• Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
• Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
• См. также свойства центроида четырёхугольника.
• Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

.

Его можно представить  ещё в виде:

[править] Площадь

Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями d₁, d₂ и углом α между ними (или их продолжениями), равна:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

• , где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон.
• , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

[править] Особые случаи

Если 4-угольник и вписан и описан, то .

[править] История

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d^[1]: